Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=(x^2+3x)/(x+4) на отрезке [-3; -1]

Answer 1

$f(x) = \frac{ {x}^{2} + 3x}{x + 4} \\ x\neq - 4 \\ f'(x) = \frac{(x {}^{2} + 3x)'(x + 4) - (x + 4)'( {x}^{2} + 3x) }{(x + 4) {}^{2} } = \\ = \frac{(2x + 3)(x + 4) - ( {x}^{2} + 3x)}{(x + 4) {}^{2} } = \frac{2 {x}^{2} + 8x + 3x + 12 - {x}^{2} - 3x}{(x + 4) {}^{2} } = \\ = \frac{ {x}^{2} + 8x + 12}{(x + 4) {}^{2} } = \frac{(x + 6)(x + 2)}{(x + 4) {}^{2} } \\ + + + [ - 6] - - - ( - 4) - - - [ - 2] + + + \\ y( - 3) = \frac{ (- 3) {}^{2} + 3 \times ( - 3 )}{ - 3 + 4} = 9 - 9 = 0 \\ y( - 2) = \frac{( - 2) {}^{2} + 3 \times ( - 2) }{ - 2 + 4} = \frac{4 - 6}{2} = - \frac{2}{2} = - 1 \\ y( - 1) = \frac{( - 1) {}^{2} + 3 \times ( - 1) }{ - 1 + 4} = \frac{1 - 3}{3} = - \frac{2}{3}$

Ответ: у max = 0 ; y min = - 1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$ на отрезке $[-3; -1]$, мы сначала найдем производную функции, чтобы найти критические точки, где значение производной равно нулю или не существует. Затем мы проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка.

Шаг 1: Найдем производную $f(x)$ по $x$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 3x}{x + 4}\right)$

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x + 4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) - (x^2 + 3x) \cdot \frac{d}{dx}(x + 4)}{(x + 4)^2}$

Теперь найдем производные в числителе:

$\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$ $\frac{d}{dx}(x + 4) = 1$

Подставляем эти значения обратно в выражение для производной:

$f'(x) = \frac{(x + 4)(2x + 3) - (x^2 + 3x) \cdot 1}{(x + 4)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 + 11x + 12 - x^2 - 3x}{(x + 4)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 8x + 12}{(x + 4)^2}$

Шаг 2: Найдем критические точки, где $f'(x) = 0$:

$x^2 + 8x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:

$(x + 6)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

1. $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$
2. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Теперь у нас есть две критические точки: $x = -6$ и $x = -2$.

Шаг 3: Теперь вычислим значения функции $f(x)$ в этих критических точках и на концах отрезка $[-3; -1]$:

• $f(-6) = \frac{(-6)^2 + 3(-6)}{(-6) + 4} = \frac{36 - 18}{-2} = \frac{18}{-2} = -9$

• $f(-2) = \frac{(-2)^2 + 3(-2)}{(-2) + 4} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

• $f(-3) = \frac{(-3)^2 + 3(-3)}{(-3) + 4} = \frac{9 - 9}{1} = 0$

• $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1)}{(-1) + 4} = \frac{1 - 3}{3} = \frac{-2}{3}$