Question

Найдите сумму всех целых значений а, при которых уравнение x³+3x²-9x+a=0 имеет три корня​

Answer 1

рассмотрим y=x³ +3x²-9x

y`=3x^2+6x-9

3x^2+6x-9=0

3(x^2+2x-3)=0

D=4+12=16

x=(-2+-4)/2=-3;1-точки экстремума

y(-3)=-27+27+27=27

y(1)=1+3-9=-5

по графику видно, что a=(-27;5)

Тогда целые числа а это от -26 до 4, арифметическая прогрессия

a1=-26; d=1; a(n)=4=a1+d(n-1)=-26+n-1; 4=n-27; n=31

S(31)=(-26+4)/2*31=-11*31=-341

Answer 2

Это интересная математическая задача! Для того чтобы уравнение имело три корня, оно должно иметь кратность корней. Давайте рассмотрим уравнение $x³+3x²-9x+a=0$.

Первая производная этого уравнения равна $3x²+6x-9$. Корни этой производной могут дать нам информацию о кратности корней оригинального уравнения.

Решим уравнение $3x²+6x-9=0$ для нахождения корней производной:

$3x²+6x-9=0$

$x²+2x-3=0$

$(x+3)(x-1)=0$

Таким образом, у нас есть два корня: $x=-3$ и $x=1$. Это значит, что уравнение $x³+3x²-9x+a=0$ имеет корни, кратные 2 и 1 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим, какие значения $a$ соответствуют этим кратностям. Если у нас есть корень кратности $k$, то умножим его на $x$ в степени $k$. Таким образом, для корня $x=-3$ кратности 2, мы умножим его на $(x+3)²$, и для корня $x=1$ кратности 1, мы умножим его на $x-1$.

$a = (x+3)² \cdot (x-1)$

Раскроем скобки:

$a = (x+3)(x+3)(x-1)$

Теперь у нас есть выражение для $a$. Мы можем использовать это выражение для нахождения суммы всех целых значений $a$.

Сначала подставим $x=-3$:

$a = (-3+3)(-3+3)(-3-1) = 0 \cdot 6 \cdot (-4) = 0$

Теперь подставим $x=1$:

$a = (1+3)(1+3)(1-1) = 4 \cdot 4 \cdot 0 = 0$

Таким образом, сумма всех целых значений $a$ равна 0.