Question

Решите, пожалуйста, уравнение, с подробным объяснением, завтра экзамен, нужно разобраться в этом задании. log4(x+4)=2*log4(x-2) логарифм x+4 по основанию 4 если что!!

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\log_{4} (x+4)=2\log_{4} (x-2)\\\\ODZ \ :\\\\\left \{ {{x+4 > 0} \atop {x-2 > 0}} \right. \ \ \Rightarrow \ \ \left \{ {{x > -4} \atop {x > 2}} \right. \ \ \Rightarrow \ \ x > 2\\\\\\\log_{4} (x+4)=\log_{4} (x-2)^{2} \\\\x+4=(x-2)^{2} \\\\x+4=x^{2} -4x+4\\\\x^{2} -5x=0\\\\x\cdot(x-5)=0\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=0\\x-5=0\end{array}\right \ \ \Rightarrow \ \ \left[\begin{array}{ccc}x=0 < 2 \ -ne \ podxodit\\x=5\end{array}\right \\\\\\Otvet \ : \ 5$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это уравнение с логарифмами. Давайте начнем.

У вас есть уравнение:

$\log_4(x + 4) = 2 \cdot \log_4(x - 2)$

Сначала воспользуемся свойством логарифмов:

$n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$

Это означает, что $2 \cdot \log_4(x - 2)$ можно переписать как $\log_4((x - 2)^2)$. После применения этого свойства уравнение примет вид:

$\log_4(x + 4) = \log_4((x - 2)^2)$

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, можно применить экспоненциальную функцию с основанием 4 к обеим частям уравнения:

$x + 4 = (x - 2)^2$

Теперь решим это квадратное уравнение:

$x + 4 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 5x = 0$

Теперь факторизуем это уравнение:

$x(x - 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения:

1. $x = 0$
2. $x - 5 = 0$, отсюда $x = 5$

Теперь нужно проверить оба значения, чтобы удостовериться, что они удовлетворяют исходному уравнению.

1. Проверим $x = 0$:

$\log_4(0 + 4) = \log_4(4) = 1$

$2 \cdot \log_4(0 - 2) = 2 \cdot \log_4(-2)$

Логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах, поэтому $x = 0$ не является решением.

2. Проверим $x = 5$:

$\log_4(5 + 4) = \log_4(9) = \frac{1}{2}$

$2 \cdot \log_4(5 - 2) = 2 \cdot \log_4(3) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Оба значения сходятся, поэтому $x = 5$ является решением уравнения.

Итак, решение уравнения $\log_4(x + 4) = 2 \cdot \log_4(x - 2)$ в действительных числах - это $x = 5$.