Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції та екстремуми функцій: f(x) = x4 - 2x².

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x) = x^4 - 2x^2.

Находим производную:

f'(x) = (x^4 - 2x^2)' =  4x^3-4x = 4x(x^2-1);

Находим корни уравнения 4x(x^2-1)=0.

4x=0;

x1=0.

-----

x^2-1 = 0;

x^2=1;

x2=-1;

x3=1.

Точки экстремума x1=0;  x2=-1;  x3=1.  (См. скриншот)

-------

f(0) = x^4 - 2x^2 = 0² -2*(0)² = 0.

f(-1) = (-1)⁴-2(-1)² = 1-2 = -1.

f(1) = (1)⁴-2(1)² = 1-2 = -1.

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції, а також її екстремуми, спершу потрібно знайти похідну функції і визначити, де вона дорівнює нулю.

Дано функцію: f(x) = x^4 - 2x^2.

Похідна функції f(x) виглядає так:

f'(x) = 4x^3 - 4x.

Далі ми розв'язуємо рівняння f'(x) = 0, щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю:

4x^3 - 4x = 0.

4x(x^2 - 1) = 0.

Тепер розв'яжемо це рівняння:

1. x = 0.
2. x^2 - 1 = 0.

Розв'язавши друге рівняння, отримаємо:

x^2 = 1, x = ±1.

Отже, ми маємо три точки, де похідна дорівнює нулю: x = 0, x = 1 і x = -1.

Тепер ми можемо скласти таблицю знаків для похідної функції f'(x) на інтервалах між цими точками і за їхніми межами:

1. Інтервал (-∞, -1): f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 (від'ємний).

2. Інтервал (-1, 0): f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 (від'ємний).

3. Інтервал (0, 1): f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 (додатній).

4. Інтервал (1, +∞): f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 + 8 = 40 (додатній).

З таблиці знаків видно, що на інтервалах (-∞, -1) і (-1, 0) похідна f'(x) є від'ємною, тобто функція f(x) спадає на цих інтервалах. На інтервалах (0, 1) і (1, +∞) похідна f'(x) є додатньою, тобто функція f(x) зростає на цих інтервалах.

Тепер знайдемо значення функції f(x) в критичних точках і на кінцях цих інтервалів:

1. f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1.
2. f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0.
3. f(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1.

Отже, функція f(x) має локальні максимуми в точках x = -1 і x = 1, де f(x) дорівнює -1, і локальний мінімум в точці x = 0, де f(x) дорівнює 0.

Загалом, проміжки зростання і спадання функції f(x) виглядають так:

• Функція зростає на інтервалах (-∞, -1) і (1, +∞).
• Функція спадає на інтервалах (-1, 0) і (0, 1).

Екстремуми функції:

• Локальний максимум в точці x = -1, де f(x) = -1.
• Локальний мінімум в точці x = 0, де f(x) = 0.
• Локальний максимум в точці x = 1, де f(x) = -1.