Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2-3х-2 и у=2х-6

Answer 1

Смотри..............................

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 - 3x - 2$ и $y = 2x - 6$, нам нужно найти точки их пересечения, а затем найти площадь между ними.

Сначала найдем точки пересечения:

$$x^2 - 3x - 2 = 2x - 6$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Факторизуем квадратное уравнение:

$$(x - 1)(x - 4) = 0$$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x = 1$ и $x = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Для $x = 1$:

$$y = 1^2 - 3 \cdot 1 - 2 = -4$$

Для $x = 4$:

$$y = 4^2 - 3 \cdot 4 - 2 = 6$$

Теперь у нас есть две точки: (1, -4) и (4, 6). График $y = x^2 - 3x - 2$ находится ниже графика $y = 2x - 6$ между этими двуми точками.

Площадь между этими двуми кривыми можно найти с использованием интеграла:

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{4} ((2x - 6) - (x^2 - 3x - 2)) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{1}^{4} (2x - 6 - x^2 + 3x + 2) \, dx$$

$$= \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx$$

$$= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$$

$$= \left[ -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right] - \left[ -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right]$$

$$= \frac{5}{3}$$

Итак, площадь фигуры ограниченной кривыми $y = x^2 - 3x - 2$ и $y = 2x - 6$ равна $\frac{5}{3}$ квадратных единиц.