Question

2^2x -6*2^x+8=0 найдите сумму корней уравнения ​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$2^{2x}-6\cdot2^x+8=0,\;\Rightarrow\;2^{x_1+x_2}=8,\;\Rightarrow\;x_1+x_2=3$

Поймем теперь, почему то, что написано выше не бред.

Дело в том, что данное уравнение сводимо к квадратному заменой $t=2^x$. Тогда для такого уравнения можно написать теорему Виета. Нас интересует вторая строка из теоремы: $t_1t_2=8$. Но при выполнении обратной замены в этом равенстве, а также, используя свойство того, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основания остаются без изменений, а показатели степеней складываются, получаем $2^{x_1+x_2}=8$. Ну а поскольку $8=2^3$, то заключаем, что сумма корней уравнения $3$.

Задание выполнено!

Комментарий:

Можно было бы просто решить уравнение, однако в этом нет смысла, поскольку нас просят найти не корни, а их сумму.

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения 2^(2x) - 6*2^x + 8 = 0, давайте сначала решим это уравнение. Для удобства заменим 2^x переменной y:

y = 2^x

Теперь уравнение примет вид:

y^2 - 6y + 8 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение. Для этого найдем корни y:

y1 = (6 + √(6^2 - 4*8)) / 2 = (6 + √(36 - 32)) / 2 = (6 + √4) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4

y2 = (6 - √(6^2 - 4*8)) / 2 = (6 - √4) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2

Теперь у нас есть значения y1 и y2. Но мы помним, что y = 2^x, поэтому давайте вернемся к переменной x:

y1 = 2^x1 = 4 y2 = 2^x2 = 2

Для нахождения x1 и x2 возьмем логарифм от обоих сторон:

x1 = log2(4) = 2 x2 = log2(2) = 1

Теперь у нас есть два корня уравнения: x1 = 2 и x2 = 1. Чтобы найти их сумму, просто сложим их:

x1 + x2 = 2 + 1 = 3

Сумма корней уравнения 2^(2x) - 6*2^x + 8 = 0 равна 3.