Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х +3 и у = x^2 + 1

Answer 1

Ответ:     4,5 кв. ед.

Объяснение:

S=s(ABmCD) -s(ABnCD);

s=∫ₙᵇf(x)dx.

Пределы интегрирования a=-1;  b=2. (См. скриншот)

По формуле Ньютона-Лейбница

∫ₙᵇf(x)dx = F(x)|ₐᵇ = F(b)-F(a). Тогда

S = ∫₋₁²(x+3)dx - ∫₋₁²(x²+1)dx = 10,5 - 6 = 4,5 кв. ед.

1)  ∫₋₁²(x+3)dx = ∫₋₁²xdx + 3∫₋₁²dx = 1/2(x²)|∫₋₁² + 3(x)|∫₋₁² =

= 1/2(2²-(-1)²) + 3(2-(-1)) = 1/2*(3) +3(2-(-1)) = 1.5 + 9 = 10.5 кв. ед.

2)   ∫₋₁²(x²+1)dx =  ∫₋₁² (x²)dx + ∫₋₁²(1)dx = 1/3(x³)|₋₁² + (x)|₋₁²

= 1/3(2³-(-1)³) + (2-(-1)) = 1/3*(9) + 3 = 3+3 = 6 кв.ед.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x + 3 и y = x^2 + 1, вам нужно найти точки их пересечения, которые будут определять границы этой фигуры. Для этого приравняйте два уравнения друг к другу и решите уравнение:

x + 3 = x^2 + 1

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

x^2 - x + 3 - 1 = 0

x^2 - x + 2 = 0

Теперь решите это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -1 и c = 2.

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(2))) / (2(1))

x = (1 ± √(1 - 8)) / 2

x = (1 ± √(-7)) / 2

Поскольку подкоренное значение отрицательное, уравнение не имеет действительных корней, и графики функций y = x + 3 и y = x^2 + 1 не пересекаются на вещественной плоскости.

Это означает, что фигура, ограниченная этими графиками, не существует на вещественной плоскости, и, следовательно, её площадь также равна нулю.