Question

Производные второго порядка следующих функций: (1) y=3cos x² ​

Answer 1

Ответ:

y"=? y"= -3sinx²-3xcosx²

Объяснение:

y'=3(cosx²)'

y'=-3xsinx²

y"=-3(1*sinx²+x*xcosx²)=-3sinx²-3xcosx²

Answer 2

Для нахождения производной второго порядка функции $y = 3\cos(x^2)$, нам нужно вычислить первую и вторую производные этой функции по отношению к переменной $x$.

1. Начнем с первой производной:

   $y' = \frac{d}{dx}[3\cos(x^2)]$.

   Для вычисления производной $\cos(x^2)$ по $x^2$ мы используем цепное правило и производную $\cos(u)$, где $u = x^2$, которая равна $-\sin(u)$ по $u$:

   $y' = 3\cdot \frac{d}{dx}[\cos(x^2)] = -3\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.

   Теперь вычислим производную $\frac{d}{dx}(x^2)$, которая равна $2x$:

   $y' = -3\sin(x^2) \cdot 2x = -6x\sin(x^2)$.

2. Теперь вычислим вторую производную:

   $y'' = \frac{d}{dx}[-6x\sin(x^2)]$.

   Для вычисления этой производной снова используем цепное правило и производную $-6x\sin(u)$, где $u = x^2$, которая равна $-6\sin(u) + (-6x)(\cos(u))$ по $u$:

   $y'' = -6\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + (-6x)\cdot \frac{d}{dx}(\cos(x^2))$.

   Мы уже вычислили $\frac{d}{dx}(x^2)$ как $2x$ и производную $\cos(x^2)$ как $-2x\sin(x^2)$ (с помощью цепного правила):

   $y'' = -6\sin(x^2) \cdot 2x + (-6x)(-2x\sin(x^2))$.

   Теперь упростим это выражение:

   $y'' = -12x\sin(x^2) + 12x^2\sin(x^2)$.

Итак, производная второго порядка функции $y = 3\cos(x^2)$ равна:

$y'' = -12x\sin(x^2) + 12x^2\sin(x^2)$.