Question

816." Доведіть тотожність: 1) (a+b+c)³ - a³ -b³ - c³ =3(a + b) (b+c) (a + c) 2) (a-b)³ +(b-c)³ - (a-c)³ = -3 (a-b) (b-c) (a - с)Помогите пожалуйста ​

Answer 1

1)

$(a+b+c)^3 - a^3 -b^3 - c^3=$

$=((a+b)+c)^3-a^3-b^3-c^3=$

$=(a+b)^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3-a^3-b^3-c^3=$

$=(a+b)^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2-a^3-b^3=$

$=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2-a^3-b^3=$

$=3a^2b + 3ab^2 +3(a+b)^2c+3(a+b)c^2=$

$=3ab(a + b)+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2=$

$=3(a+b)(ab+(a+b)c+c^2)=$

$=3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=$

$=3(a+b)(a(b+c)+c(b+c))=$

$=3(a+b)(b+c)(a+c))$

2)

$(a-b)^3 +(b-c)^3 - (a-c)^3=$

$=((a-b)^3 +(b-c)^3) - (a-c)^3=$

$=((a-b)^3 +(b-c)^3) - (a-c)^3=$

$=(a-b +b-c)((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2)- (a-c)^3=$

$=(a-c)((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2)- (a-c)^3=$

$=(a-c)((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2- (a-c)^2)=$

$=(a-c)(a^2-2ab+b^2-(a-b)(b-c)+b^2-2bc+c^2- a^2+2ac-c^2)=$

$=(a-c)(- 2ab + 2ac + 2b^2 - 2bc-(a-b)(b-c))=$

$=(a-c)(-2a(b-c)+2b(b-c)-(a-b)(b-c))=$

$=(a-c)(-2(b-c)(a-b)-(a-b)(b-c))=$

$=(a-c)(-3(b-c)(a-b))=$

$= -3 (a-b) (b-c) (a -c)$

Answer 2

Давайте докажемо обидві тотожності послідовно:

1. (a + b + c)³ - a³ - b³ - c³ = 3(a + b)(b + c)(a + c)

Спочатку візьмемо ліву сторону тотожності і спростимо її:

(a + b + c)³ - a³ - b³ - c³

Застосовуємо формулу кубу суми:

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²(b + c) + 3b²(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc

Тепер віднімемо a³, b³ і c³:

a³ + b³ + c³ + 3a²(b + c) + 3b²(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc - a³ - b³ - c³

Залишимо тільки доданки, які мають загальний множник (a + b)(b + c)(a + c):

3a²(b + c) + 3b²(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc

Тепер виразимо спільний множник за допомогою розкладу куба суми:

3(a + b)(b + c)(a + c) + 6abc

Тепер ми побачили, що ліва сторона дорівнює 3(a + b)(b + c)(a + c), як і вказано в тотожності.

2. (a - b)³ + (b - c)³ - (a - c)³ = -3(a - b)(b - c)(a - c)

Спочатку візьмемо ліву сторону тотожності і спростимо її:

(a - b)³ + (b - c)³ - (a - c)³

Застосовуємо формулу кубу різниці:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (b - c)³ = b³ - 3b²c + 3bc² - c³ (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³

Тепер підставимо ці вирази у ліву сторону:

(a³ - 3a²b + 3ab² - b³) + (b³ - 3b²c + 3bc² - c³) - (a³ - 3a²c + 3ac² - c³)

Розгорнемо дужки:

a³ - 3a²b + 3ab² - b³ + b³ - 3b²c + 3bc² - c³ - a³ + 3a²c - 3ac² + c³

Зараз спростимо вираз, враховуючи відповідні терміни:

-3a²b + 3ab² - 3b²c + 3bc² + 3a²c - 3ac²

Зафіксуємо -3 на початку і виразимо спільний множник за допомогою розкладу куба різниці:

-3(a - b)(b - c)(a - c)

Тепер ми побачили, що ліва сторона дорівнює -3(a - b)(b - c)(a - c), як і вказано в тотожності.

Таким чином, обидві тотожності доведені.