Question

Розв'язати квадр.функцію у дорівнюєх2+2х-7.Знайти вершину графіку,нулі функцій,проміжок зростання та спадання функції

Answer 1

Для розв'язання квадратної функції у вигляді $f(x) = x^2 + 2x - 7$, ми спершу знайдемо її вершину, нулі, і проміжки зростання та спадання. Давайте почнемо з цього.

1. Знайдемо вершину графіку функції. Вершина квадратної функції $f(x) = ax^2 + bx + c$ розташована у точці $(-b/2a, f(-b/2a))$. У нашому випадку $a = 1$, $b = 2$, і $c = -7$. Знаходимо вершину:

$$x = -\frac{2}{2(1)} = -1$$

$$f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 7 = 1 - 2 - 7 = -8$$

Таким чином, вершина графіку розташована в точці $(-1, -8)$.

2. Знайдемо нулі функції, тобто значення $x$, при яких $f(x) = 0$. Виражаємо це рівняння:

$$x^2 + 2x - 7 = 0$$

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

У нашому випадку $a = 1$, $b = 2$, і $c = -7$, тому:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2}$$

Розділимо обидва корені на 2:

$$x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$$

$$x_2 = -1 - 2\sqrt{2}$$

Таким чином, нулі функції $f(x)$ дорівнюють $x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$ і $x_2 = -1 - 2\sqrt{2}$.

3. Тепер знайдемо проміжки зростання та спадання функції. Функція зростає на проміжках між нулями і спадає поза цими проміжками.

Проміжок зростання: $(- \infty, -1 - 2\sqrt{2})$ Проміжок спадання: $(-1 - 2\sqrt{2}, -1 + 2\sqrt{2})$ Проміжок зростання: $(-1 + 2\sqrt{2}, +\infty)$

Це описує зміну значень функції $f(x)$ на вісі $x$.

Отже, ми розв'язали квадратну функцію $f(x) = x^2 + 2x - 7$, знайшли її вершину, нулі і визначили проміжки зростання та спадання.