Question

Вычислить cos⁡(α),если tg(α/2)=1/2

Answer 1

$\cos\alpha = \frac{1-\tan^2\alpha/2}{1+\tan^2\alpha/2} = \frac{1-1/4}{1+1/4} = 3/5$

Answer 2

Ответ:

Известно, что  $\bf tg\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}$   .  Найти  cos α  .  

$\displaystyle \bf cos\alpha =cos(2\cdot \dfrac{\alpha }{2})=cos^2\frac{\alpha }{2}-sin^2\frac{\alpha }{2}=\dfrac{cos^2\frac{\alpha }{2}-sin^2\frac{\alpha }{2}}{sin^2\frac{\alpha }{2}+cos^2\frac{\alpha }{2}}=$  

Делим числитель и знаменатель на  $\bf cos^2\dfrac{\alpha }{2}\ne 0$  , получим

$\displaystyle \bf =\frac{1-tg^2\frac{\alpha }{2}}{1+tg^2\frac{\alpha }{2}}$          

Подставим значение тангенса половинного угла в формулу :  

$\displaystyle \bf cos\alpha =\frac{1-\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{4}}=\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{4}}=\frac{3}{5}$                

Answer 3

Для вычисления значения косинуса угла α, когда известен тангенс половины этого угла, можно воспользоваться половинным угловым тригонометрическим тождеством. Тождество звучит следующим образом:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Известно, что $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}$, поэтому:

$\frac{1}{2} = \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь можно решить это уравнение относительно $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Далее, используем тригонометрическое тождество для синуса половины угла:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

Знак "+" или "-" будет зависеть от квадранта, в котором находится угол α. Так как у нас не указано, в каком квадранте находится угол α, предположим, что он находится в первом квадранте, где синус положителен. Тогда:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение для $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$2\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$4\left(\frac{1 - \cos\alpha}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Упростим:

$2(1 - \cos\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь выразим $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ из этого уравнения:

$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 - 2\cos\alpha$

Используем первое тождество тригонометрии $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1$:

$2 - 2\cos\alpha + \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1$

Теперь подставим значение $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ из тригонометрического тождества $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$:

$2-2\cos \alpha +$ 0 0