Question

Докажите, что для любого натурального n: 1)5^n степени + 3 делится на 4 2)5^n+ 6^n-1 делится на 10 3)9^n+1 -8n-9 делится на 64

Answer 1

1) 5^n + 3

n=1, 5^1+3=8 делится на 4;

пусть при n=k 5^n + 3=5^k + 3 делится на 4;

n=k+1 5^n + 3=5^(k+1) + 3=5^k *5 + 3 + 15 - 15=5(5^k + 3) + 3 - 15=5(5^k + 3) - 12

5(5^k + 3) делится на 4, -12 делится на 4 => 5(5^k + 3) - 12 делится на 4.

5^n + 3 делится на 4 при любом натуральном n.

 

2) 5^n + 6^n-1

n=1, 5^1 + 6^1 - 1=10 делится на 10;

пусть при n=k 5^n + 6^n - 1= 5^k + 6^k - 1 делится на 10;

n=k+1 5^n + 6^n - 1= 5^(k+1)+ 6^(k+1) - 1=5* 5^k + 6* 6^k - 1 = 5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k=5^k + 6^k - 1 + 20* 5^(k-1) + 30* 6^(k-1)=5^k + 6^k - 1 + 4* 5^k + 5* 6^k = 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1))

5^k + 6^k - 1 делится на 10, 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10 => 5^k + 6^k - 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10.

5^n + 6^n-1 делится на 10 при любом натуральном n.

 

Answer 2

Давайте докажем каждое утверждение по очереди:

1. Чтобы доказать, что $5^n + 3$ делится на 4 для любого натурального $n$, давайте рассмотрим возможные остатки при делении $5^n$ на 4. Остатки могут быть только 0, 1, 2 или 3.

При $n = 1$, $5^n = 5^1 = 5$, и $5^n + 3 = 5 + 3 = 8$, что делится на 4.

Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого $k$, т.е., $5^k + 3$ делится на 4. Мы хотим доказать, что оно верно и для $k + 1$. Рассмотрим $5^{k+1} + 3$:

$5^{k+1} + 3 = 5^k \cdot 5 + 3 = (5^k + 3) \cdot 5$.

Мы видим, что это выражение равно произведению числа $5^k + 3$ на 5. По предположению индукции, $5^k + 3$ делится на 4. Теперь умножим это на 5. Поскольку 5 делится на 4 без остатка (5 = 4 * 1 + 1), произведение также будет делиться на 4 без остатка. Таким образом, $5^{k+1} + 3$ делится на 4.

Мы доказали утверждение для $n = 1$ и установили, что если оно верно для некоторого $k$, то оно верно и для $k + 1$. Поэтому утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

2. Чтобы доказать, что $5^n + 6^{n-1}$ делится на 10 для любого натурального $n$, разделим это выражение на 10:

$5^n + 6^{n-1} = 5^n + \frac{6^n}{6} = 5^n + 6 \cdot \frac{6^{n-1}}{6} = 5^n + 6^n$.

Теперь давайте рассмотрим остатки $5^n$ и $6^n$ при делении на 10:

• $5^n$ делится на 5, и остаток равен 0 или 5 в зависимости от четности $n$.
• $6^n$ делится на 6, и остаток также равен 0 или 6 в зависимости от четности $n$.

Следовательно, сумма $5^n + 6^n$ будет делиться на 10, так как она содержит одно член с остатком 0 от деления на 10 и одно с остатком 6. Таким образом, $5^n + 6^{n-1}$ делится на 10 для любого натурального $n$.

3. Чтобы доказать, что $9^n + 1 - 8n - 9$ делится на 64 для любого натурального $n$, давайте разделим это выражение на 64:

$9^n + 1 - 8n - 9 = 9^n - 8n - 8 = 8(9^{n-1} - n - 1)$.

Теперь давайте рассмотрим $9^{n-1} - n - 1$. Если мы докажем, что это выражение делится на 8, то исходное выражение также будет делиться на 64.

Посмотрим на остатки $9^{n-1}$ и $n$ при делении на 8:

• $9^{n-1}$ делится на 8, так как $9^{n-1}$ - это степень числа 9, которое является кратным 8.
• $n$ может быть 0, 1, 2, ... или 7 в зависимости от значения $n$.

Таким образом, разность $9^{n-1} - n - 1$ будет иметь остаток -1 при делении на 8 для всех натуральных $n$. Чтобы сделать эту разность кратной 8, мы вычитаем 1, поэтому она становится кратной 8. Следовательно, $9^n + 1 - 8n - 9$ делится на 64 для любого натурального $n$.