Question

Помогите решить пределы функций: 1)lim x->-1 (2x^2+x-1)/(5x^2+4x-1)= 2)lim x->беск. (1+2x-x^2)/(4x^2-5x+2)= 3)lim x->беск. ((2x+3)/(2x-1))^4x=

Answer 1

1)lim x->-1 (2x^2+x-1)/(5x^2+4x-1)=lim x->-1 (x+1)(x-1/2)/(x+1)(x-1/5)=lim x->-1 (x-1/2)/(x-1/5)=5/4

2)lim x->беск. (1+2x-x^2)/(4x^2-5x+2)= lim x->беск. (1/x^2+2/x-1)/(4-5/x+2/x^2)=-1/4

3)lim x->беск. ((2x+3)/(2x-1))^4x= [lim x-> беск. (1+4/(2x-1))^x]^4=

lim y->бескон. (1+4/y)^(y/2)=e^2

 

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из этих пределов по отдельности:

1. lim (x -> -1) [(2x^2 + x - 1) / (5x^2 + 4x - 1)]

Чтобы найти этот предел, можно воспользоваться правилом Лопиталя, так как числитель и знаменатель стремятся к 0 при x -> -1:

lim (x -> -1) [(2x^2 + x - 1) / (5x^2 + 4x - 1)]

Производные числителя и знаменателя:

Числитель: d/dx (2x^2 + x - 1) = 4x + 1 Знаменатель: d/dx (5x^2 + 4x - 1) = 10x + 4

Теперь подставим x = -1 в производные:

Числитель: 4(-1) + 1 = -4 + 1 = -3 Знаменатель: 10(-1) + 4 = -10 + 4 = -6

Теперь мы можем вычислить предел:

lim (x -> -1) [(2x^2 + x - 1) / (5x^2 + 4x - 1)] = (-3) / (-6) = 1/2

2. lim (x -> беск.) [(1 + 2x - x^2) / (4x^2 - 5x + 2)]

Для этого предела также можно воспользоваться правилом Лопиталя, так как числитель и знаменатель стремятся к бесконечности при x -> бесконечности.

lim (x -> беск.) [(1 + 2x - x^2) / (4x^2 - 5x + 2)]

Производные числителя и знаменателя:

Числитель: d/dx (1 + 2x - x^2) = 2 - 2x Знаменатель: d/dx (4x^2 - 5x + 2) = 8x - 5

Теперь подставим x = бесконечность в производные:

Числитель: 2 - 2(бесконечность) = -бесконечность Знаменатель: 8(бесконечность) - 5 = бесконечность

Так как числитель и знаменатель стремятся к бесконечности с противоположными знаками, предел можно выразить как:

lim (x -> беск.) [(1 + 2x - x^2) / (4x^2 - 5x + 2)] = (-бесконечность) / бесконечность

Это неопределенная форма, и для дальнейшего решения потребуется дополнительный анализ функции. Можете предоставить дополнительную информацию о задаче, чтобы получить более точное решение.

3. lim (x -> беск.) ((2x + 3) / (2x - 1))^(4x)

Для этого предела можно воспользоваться свойствами пределов и выразить его в виде экспоненциальной функции:

lim (x -> беск.) ((2x + 3) / (2x - 1))^(4x) = exp[lim (x -> беск.) 4x * ln((2x + 3) / (2x - 1))]

Теперь рассмотрим предел внутренней функции:

lim (x -> беск.) 4x * ln((2x + 3) / (2x - 1))

Мы видим, что это определение 0/0. В этом случае можно воспользоваться правилом Лопиталя:

Производные числителя и знаменателя:

Числитель: d/dx (4x * ln((2x + 3) / (2x - 1))) = 4 * ln((2x + 3) / (2x - 1)) + 4 * d/dx ln((2x + 3) / (2x - 1)) Знаменатель: d/dx (4x) = 4

Теперь подставим x = бесконечность в производные:

Числитель: 4 * ln(1) + 4 * d/dx ln(1) = 4 * 0 + 4 * 0 = 0 Знаменатель: 4

Теперь мы можем выразить предел в исходной задаче:

lim (x -> беск.) ((2x + 3) / (2x - 1))^(4x) = exp[lim (x -> беск.) 4x * ln((2x + 3) / (2x - 1))] = exp(0) = 1

Таким образом, третий предел равен 1.