Question

Найти производную у"(п/3), если у(х) = sin3x * cos5x - cos3x * sin5x

Answer 1

у(х) = sin3x * cos5x - cos3x * sin5x

у(х) = sin(3x-5x)

y(x)=-sin2x

y '(x)=-2cos2x

y ''(x)=4sin2x

y''(п/3)=4sin(2п/3)=$2\sqrt3$

Answer 2

Чтобы найти вторую производную y''(x) функции y(x), сначала найдем первую производную y'(x), а затем найдем вторую производную. Исходная функция y(x) дана следующим образом:

y(x) = sin(3x) * cos(5x) - cos(3x) * sin(5x)

Начнем с первой производной y'(x) используя правило производной произведения:

y'(x) = [sin(3x) * cos(5x)]' - [cos(3x) * sin(5x)]'

Теперь найдем производные каждого из слагаемых:

1. Производная sin(3x) * cos(5x):

(sin(3x) * cos(5x))' = sin(3x)' * cos(5x) + sin(3x) * cos(5x)'

sin(3x)' = 3 * cos(3x) cos(5x)' = -5 * sin(5x)

Теперь подставим эти значения в выражение для первой производной:

(sin(3x) * cos(5x))' = (3 * cos(3x)) * cos(5x) - sin(3x) * (5 * sin(5x))

2. Производная cos(3x) * sin(5x):

(cos(3x) * sin(5x))' = cos(3x)' * sin(5x) + cos(3x) * sin(5x)'

cos(3x)' = -3 * sin(3x) sin(5x)' = 5 * cos(5x)

Теперь подставим эти значения в выражение для второй производной:

(cos(3x) * sin(5x))' = (-3 * sin(3x)) * sin(5x) + cos(3x) * (5 * cos(5x))

Теперь, чтобы найти вторую производную, вычитаем второе слагаемое из первого:

y''(x) = [(3 * cos(3x)) * cos(5x) - sin(3x) * (5 * sin(5x))] - [(-3 * sin(3x)) * sin(5x) + cos(3x) * (5 * cos(5x)]

Теперь упростим это выражение:

y''(x) = 3 * cos(3x) * cos(5x) - 5 * sin(3x) * sin(5x) + 3 * sin(3x) * sin(5x) + 5 * cos(3x) * cos(5x)

Теперь можно упростить это выражение дальше, используя формулы синуса и косинуса суммы углов:

y''(x) = 3 * [cos(3x) * cos(5x) + sin(3x) * sin(5x)] + 5 * [cos(3x) * cos(5x) + sin(3x) * sin(5x)]

Обратите внимание, что в скобках у нас сумма углов, которая равна cos(3x - 5x) = cos(-2x).

Теперь у нас есть:

y''(x) = 3 * cos(-2x) + 5 * cos(-2x)

y''(x) = 3 * cos(-2x) + 5 * cos(2x)

Теперь, чтобы найти значение второй производной в точке x = π/3, подставим x = π/3 в это выражение:

y''(π/3) = 3 * cos(-2 * π/3) + 5 * cos(2 * π/3)

Теперь вычислим cos(-2 * π/3) и cos(2 * π/3):

cos(-2 * π/3) = cos(2 * π/3) = -1/2

Теперь подставим это в выражение:

y''(π/3) = 3 * (-1/2) + 5 * (-1/2)

y''(π/3) = (-3/2) - (5/2)

y''(π/3) = -8/2

y''(π/3) = -4

Итак, вторая производная y''(π/3) функции y(x) в точке x = π/3 равна -4.