Question

Разложить многочлен на линейные множители х5-4х4+14х2-17х+6

Answer 1

(х-1)(х-3)(х-3)(х-1)(х-1)(х+2)=(х-1)^3(х-3)^2(х+2)

Answer 2

Чтобы разложить многочлен на линейные множители, мы сначала попробуем найти его корни. Корни многочлена будут соответствовать его линейным множителям. Мы можем воспользоваться методом проб и ошибок или теоремой о целых корнях, чтобы искать корни. В данном случае, начнем с поиска рациональных корней.

Многочлен: $х^5 - 4х^4 + 14х^2 - 17х + 6$

Мы будем искать корни вида $p/q$, где $p$ - делитель свободного члена (6), а $q$ - делитель старшего коэффициента (1).

Попробуем делители 1, 2, 3 и 6 для $p$ и $q$:

1. $x = 1$: Подставим $x = 1$ в многочлен: $1^5 - 4 * 1^4 + 14 * 1^2 - 17 * 1 + 6 = 0$. Таким образом, $x = 1$ - корень многочлена.
2. $x = 2$: Подставим $x = 2$ в многочлен: $2^5 - 4 * 2^4 + 14 * 2^2 - 17 * 2 + 6 = 32 - 64 + 56 - 34 + 6 = -4$. $x = 2$ не является корнем.

Теперь, мы можем разделить многочлен на $(x - 1)$ с использованием синтетического деления:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & -4 & 14 & -17 & 6 \\ \hline & & 1 & -3 & 11 & -6 \\ \hline 1 & -3 & 11 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем: $x^5 - 4x^4 + 14x^2 - 17x + 6 = (x - 1)(x^4 - 3x^3 + 11x^2 - 6x)$.

Теперь у нас есть новый многочлен $x^4 - 3x^3 + 11x^2 - 6x$, и мы можем продолжить поиск корней.

Попробуем делители 1 и 2:

1. $x = 1$: Подставим $x = 1$ в новый многочлен: $1^4 - 3 * 1^3 + 11 * 1^2 - 6 * 1 = 1 - 3 + 11 - 6 = 3$. $x = 1$ не является корнем.
2. $x = 2$: Подставим $x = 2$ в новый многочлен: $2^4 - 3 * 2^3 + 11 * 2^2 - 6 * 2 = 16 - 24 + 44 - 12 = 24$. $x = 2$ также не является корнем.

Пока что мы не нашли новые корни. Мы можем продолжить поиск корней или воспользоваться численными методами, чтобы найти приближенные значения корней.