Question

Найти значение: (0.75*tg^2 30º-sin^2 30º+tg^2 45º+cos 60º))^-1 Доказать тождество: cos^4a(1+tg^2a)+sin^2a=1

Answer 1

Тождество:
$Cos^4a(1+tg^2a) + sin^2a = 1$
$Cos^4a(1+tg^2a) + sin^2a = Cos^4a + \frac{cos^4a}{1} * \frac{sin^2a}{cos^2a} + sin^2a$ = $Cos^4 + cos^2asin^2a + sin^2a = cos^2a(cos^2a+sin^2a) + sin^2a =$ = $Cos^2a + sin^2a = 1$ чтд
В -1 степени - 1 делить на все это выражение, поэтому я сразу запишу дробью:
$\frac{1}{0,75*( \sqrt{3}/3)^2 - 1/4 + 1 + 1/2 } = \frac{1}{1,5} = \frac{10}{15}$

tg²30° = $(\frac{ \sqrt{3} }{3})^2$ = $\frac{3}{9}$

sin²30° = $( \frac{1}{2})^2 = 1/4$

tg²45° = $1$

cos60° = $\frac{1}{2}$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления значения данного выражения:

(0.75*tan^2(30°) - sin^2(30°) + tan^2(45°) + cos(60°))^-1

Сначала вычислим значения тригонометрических функций для данных углов:

1. tan(30°) = 1/√3
2. sin(30°) = 1/2
3. tan(45°) = 1
4. cos(60°) = 1/2

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

(0.75*(1/√3)^2 - (1/2)^2 + 1^2 + (1/2))^-1

(0.75*(1/3) - 1/4 + 1 + 1/2)^-1

(0.25 - 0.25 + 1 + 0.5)^-1

(1.5)^-1

1 / 1.5

2/3

Теперь давайте рассмотрим доказательство тождества:

cos^4(a)(1 + tan^2(a)) + sin^2(a) = 1

Для начала, мы можем использовать тождество тангенса: 1 + tan^2(a) = sec^2(a)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

cos^4(a) * sec^2(a) + sin^2(a) = 1

Теперь воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

1. sec(a) = 1/cos(a)
2. sec^2(a) = 1/cos^2(a)

Из (1) и (2) следует, что:

cos^4(a) * sec^2(a) = cos^2(a)

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

cos^2(a) + sin^2(a) = 1

И это уравнение является известным тождеством Пифагора для тригонометрических функций, которое всегда верно. Таким образом, исходное уравнение доказано.