Question

Решите уравнение (4+√15)^x+(4-√15)^x=62

Answer 1

62=31*2=(15+16)*2
x=2
проверяем
(4+√15)^2+(4-√15)^2=16+15+8√15+16+15-8√15=2*(15+16)=62

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. Давайте обозначим $a = 4 + \sqrt{15}$ и $b = 4 - \sqrt{15}$. Тогда уравнение примет вид:

$a^x + b^x = 62$

Теперь мы можем использовать свойство замены переменной. Давайте представим $a$ и $b$ в виде $a = c + d$ и $b = c - d$, где $c$ и $d$ - это некоторые числа. Тогда уравнение примет вид:

$(c + d)^x + (c - d)^x = 62$

Теперь мы видим, что у нас есть сумма двух однородных слагаемых. Давайте обозначим $S_n = (c + d)^n + (c - d)^n$. Мы можем использовать рекуррентное соотношение для вычисления $S_n$:

$S_{n+2} = (c + d)^{n+2} + (c - d)^{n+2} = (c + d)^{n}(c + d)^{2} + (c - d)^{n}(c - d)^{2} = (c + d)^{n}(S_2) + (c - d)^{n}(S_2)$

Теперь у нас есть рекуррентное соотношение для $S_n$:

$S_{n+2} = S_2 \cdot (c + d)^{n} + S_2 \cdot (c - d)^{n} = S_2 \cdot (c^{n} + d^{n})$

Мы видим, что $S_n$ выражается через $S_2$ и степени $c$ и $d$. Теперь давайте вернемся к нашему исходному уравнению:

$S_x = 62$

Теперь мы можем выразить $S_x$ через $S_2$:

$S_x = S_2 \cdot (c^{x} + d^{x})$

Теперь у нас есть уравнение для $S_x$:

$S_2 \cdot (c^{x} + d^{x}) = 62$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $S_2$:

$S_2 = \frac{62}{c^{x} + d^{x}}$

Изначально мы определили, что $S_2 = (c + d)^2$, поэтому:

$(c + d)^2 = \frac{62}{c^{x} + d^{x}}$

Теперь мы можем подставить значения $c$ и $d$:

$(4 + \sqrt{15})^2 + (4 - \sqrt{15})^2 = \frac{62}{c^{x} + d^{x}}$