Question

Решить неравенство sin²x-3sinx+2<=0

Answer 1

$>-1\leq t\leq1==>|t|\leq1;==>t\in[-1;1];\\ t^2-3t+2\leq0;\\ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1;\\ t_1=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\notin[-1;1];\\ t_2=\frac{3-1}{2}=1\in[-1;1];\\ \sin x=1;\\ x=\frac\pi2+2\pi n, n\in Z;$

Answer 2

Чтобы решить неравенство sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0, давайте сначала заметим, что это квадратное неравенство по синусу. Давайте представим его как квадратное уравнение, а затем решим его.

sin²x - 3sinx + 2 = 0

Теперь попробуем решить это квадратное уравнение. Давайте введем временную переменную, например, y, и преобразуем уравнение:

y² - 3y + 2 = 0

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

(y - 2)(y - 1) = 0

Теперь найдем значения переменной y, при которых левая часть равна нулю:

1. y - 2 = 0 => y = 2
2. y - 1 = 0 => y = 1

Теперь у нас есть два значения y, которые делают левую часть равной нулю: y = 1 и y = 2.

Теперь вернемся к переменной x и используем эти значения, чтобы определить интервалы, в которых неравенство sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 выполняется.

1. Когда y = 1: sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 становится sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 (sin(x) - 1)(sin(x) - 2) ≤ 0

2. Когда y = 2: sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 становится sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 (sin(x) - 2)(sin(x) - 1) ≤ 0

Теперь определим, в каких интервалах sin(x) - 1 и sin(x) - 2 могут быть меньше или равными нулю. Мы можем использовать знаки синусов на известных интервалах (0, 2π) для этого.

1. sin(x) - 1 ≤ 0: 0 ≤ sin(x) ≤ 1 Это выполняется на интервале [0, π], а также на интервале [2π, 3π] и так далее.

2. sin(x) - 2 ≤ 0: 0 ≤ sin(x) ≤ 2 Это выполняется на интервале [0, π/2] и на интервале [3π/2, 2π].

Теперь объединим интервалы, в которых выполняются оба неравенства:

[0, π] ∩ [0, π/2] = [0, π/2] [2π, 3π] ∩ [3π/2, 2π] = [3π/2, 2π]

Таким образом, решение исходного неравенства sin²x - 3sinx + 2 ≤ 0 на интервалах [0, π/2] и [3π/2, 2π].