Question

Очень нужно! Пожалуйста! В арифметической прогрессии сумма третьего и девятого членов равна 6, а их произведение( умножение×××) ровно 135/6. Найдите сумму первых пятнадцати членов прогрессии.

Answer 1

Пусть  а1- первый член арифметической прогрессии , d- разность прогрессии. Имеем систему из двух уравнений :  а3+а9=6  и  а3·а9=135/6
выразим а3  и а9 через первый член и разность прогрессии :
а3=а1+2d    и    a9= a1+8d  и подставим в первое уравнение системы , получаем : а1+2d+a1+8d=6
2a1+10d=6
a1+5d=3
a1=3-5d
Сделаем подстановку во втором уравнении :
(a1+2d)(a1+8d)=6    подставим  а1=3-5d и получим
(3-5d+2d)(3-5d+8d)=6
(3-3d)(3+3d)=6
9-9d²=6
9d²=3
d²=1/3
d=√1/3=√3/3  или d=-√1|3=√3|3
1) При  d=√3/3     а1=3-5·√3/3
По формуле суммы арифметической прогрессии имеем :
S15=(2(3-5√3/3)+√3/3·14)/2·15=(9-2√3)·5=45-10√3
2) При d=-√3/3    a1=3+5√3/3
S15=45-10√3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для суммы и произведения членов арифметической прогрессии.

Давайте обозначим первый член прогрессии как "a" и разность между членами как "d". Тогда третий член будет равен "a + 2d", а девятый член будет равен "a + 8d".

Известно, что сумма третьего и девятого членов равна 6:

(a + 2d) + (a + 8d) = 6

Упростим уравнение:

2a + 10d = 6

a + 5d = 3

Также известно, что произведение третьего и девятого членов равно 135/6:

(a + 2d)(a + 8d) = 135/6

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дроби:

6(a + 2d)(a + 8d) = 135

Упростим уравнение:

(a + 2d)(a + 8d) = 22.5

Раскроем скобки:

a^2 + 10ad + 16d^2 = 22.5

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a + 5d = 3
2. a^2 + 10ad + 16d^2 = 22.5

Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений "a" и "d". После того как мы найдем эти значения, мы сможем найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n = (n/2)(2a + (n-1)d)

Теперь найдем "a" и "d":

Из первого уравнения:

a = 3 - 5d

Подставим это значение "a" во второе уравнение:

(3 - 5d)^2 + 10(3 - 5d)d + 16d^2 = 22.5

Решим это уравнение для "d" и "a". Можно воспользоваться квадратным уравнением для "d":

d = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = 10, c = 16.

d = (-10 ± √(10² - 4(1)(16))) / (2(1)) d = (-10 ± √(100 - 64)) / 2 d = (-10 ± √36) / 2 d = (-10 ± 6) / 2

Теперь два возможных значения для "d":

1. d1 = (-10 + 6) / 2 = -2/2 = -1
2. d2 = (-10 - 6) / 2 = -16/2 = -8

Теперь найдем соответствующие значения "a" для каждого из этих значений "d":

1. Для d1 = -1: a1 = 3 - 5*(-1) = 3 + 5 = 8
2. Для d2 = -8: a2 = 3 - 5*(-8) = 3 + 40 = 43

У нас есть два набора значений "a" и "d", и каждый из них определяет арифметическую прогрессию. Теперь мы можем найти сумму первых пятнадцати членов прогрессии для каждого из них.

1. Для первого набора значений (a1 = 8, d1 = -1):

S_15_1 = (15/2)(2*8 + (15-1)(-1)) = (15/2)(16 - 14) = (15/2)(2) = 15

2. Для второго набора значений (a2 = 43, d2 = -8):

S_15_2 = (15/2)(2*43 + (15-1)(-8)) = (15/2)(86 - 112) = (15/2)(-26) = -195

Таким образом, сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии может быть 15 или -195, в зависимости от выбора значений "a" и "d".