Question

Для данной функции f(x,y) найти частные решения производные первого порядка и выписать полный дифференциал первого порядка в точке m(2;-1); 8) f(x,y)=-4x^2+xy-2y^2+x

Answer 1

$f'_x=\frac{\mathfrak{d}f}{\mathfrak{d}x}=(-4x^2+xy-2y^2+x)'_x=-8x+y+1\\\\f'_y=\frac{\mathfrak{d}f}{\mathfrak{d}y}=(-4x^2+xy-2y^2+x)'_y=x-4y\\\\df=f'_xdx+f'_ydy=(-8x+y+1)dx+(x-4y)dy\\\\m(2;-1)\\df(m)=(-8*2-1+1)dx+(2-4*(-1))dy=-16dx+6dy$

Answer 2

Для нахождения частных производных первого порядка и полного дифференциала функции f(x, y)=-4x^2+xy-2y^2+x, давайте начнем с вычисления частных производных по переменным x и y, а затем найдем полный дифференциал.

1. Частная производная по x (f_x): f_x = d/dx (-4x^2+xy-2y^2+x) = -8x + y + 1

2. Частная производная по y (f_y): f_y = d/dy (-4x^2+xy-2y^2+x) = x - 4y

Теперь найдем полный дифференциал первого порядка. Полный дифференциал df(x, y) функции f(x, y) выглядит следующим образом:

df(x, y) = f_x dx + f_y dy

Теперь подставим значения частных производных и координат точки m(2, -1):

df(2, -1) = (-8(2) + (-1) + 1)dx + (2 - 4(-1))dy df(2, -1) = (-15)dx + 6dy

Теперь у нас есть полный дифференциал первого порядка в точке m(2, -1):

df(2, -1) = (-15)dx + 6dy