Question

Чему равна сумма корней 2 cos6x*cos7x+cos6x=2cos7x+1,принадлежаещих промежутку (-3пи;3пи)? выберите верный из предложенных ответов. а)0 б)-8пи/3 в)8пи/3 г)пи очень нужно с решением!

Answer 1

Cos6x(2cos7x+1)=2cos7x+1 <=> (2cos7x+1)*(cos6x-1)=0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим оба случая: 1) 2cos7x+1=0 <=> cos7x=-1/2 <=> 7x=+-2pi/3+2*pi*k <=> x=+-2pi/21+(2*pi*k)/7; 2) cos6x-1=0 <=> cos6x=1 <=> 6x=2*pi*n <=> x=(pi*n)/3. Теперь разберёмся с суммой корней от минус трех пи до трех пи: и вторая серия х, и первая - симметричны относительна нуля и в сумме корни дадут ноль.

Answer 2

Для решения этого уравнения и нахождения суммы корней, сначала давайте преобразуем уравнение:

2cos(6x)*cos(7x) + cos(6x) = 2cos(7x) + 1

Теперь выделим общий множитель с левой стороны:

cos(6x) * (2cos(7x) + 1) = 2cos(7x) + 1

Теперь выразим cos(6x):

cos(6x) = (2cos(7x) + 1) / (2cos(7x) + 1)

Заметим, что в числителе и знаменателе есть 2cos(7x) + 1. Мы можем сократить их:

cos(6x) = 1

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Косинус равен 1 в точке x = 0 и также через каждый период 2π. Период косинуса для cos(6x) равен (2π) / 6 = π/3.

Теперь мы можем найти корни на интервале (-3π; 3π):

-3π < x < 3π

Интервал включает в себя 7 периодов косинуса, начиная с x = 0.

Корни уравнения будут находиться в точках, где cos(6x) = 1, то есть:

x = 0, x = π/3, x = 2π/3, x = π, x = 4π/3, x = 5π/3, x = 2π

Теперь найдем сумму этих корней:

Сумма корней = 0 + π/3 + 2π/3 + π + 4π/3 + 5π/3 + 2π

Сумма корней = (0 + π + 2π + π + 4π + 5π + 2π) / 3

Сумма корней = (13π) / 3

Ответ: б) -8π/3