Question

Докажите тождество: 1)sin4b + 2 sin 2b/2(cos b + cos3b) = cosb tg2b 2)2cos^2 2a + cos5a - 1/sin5a + 2cos2asin2a = ctg4,5a Кто понимает, пожалуйста, помогите :3

Answer 1

1) (sin4β+2sin2β)/(2(cosβ+cos3β))=(sin2*2β+2sin2β)/(2(cos3β+cosβ))=
= (2sin2β*cos2β +2sin2β)/(2*2cos2β*cosβ) =2sin2β(1+cos2β)/(4cos2β*cosβ)=
=sin2β*2cos²β/(2cos2β*cosβ)=cosβ*tq2β.
2) (2cos²2α +cos5α -1)/(sin5αα+2cos2αsin2α) =ctq4,5α.
 (2cos²2α +cos5α -1)/(sin5α+2cos2αsin2α) =(1+cos2*2α+cos5α-1)/(sin5α+sin2*2α) =(cos4α+cos5α)/(sin5α+sin4α)=(2cos(4α+5α)/2*cos(4α-5α)/2)/(2sin(5α+4α)/2*cos(5α-4α)/2)=(2cos4,5α*cos(α/2))/(2sin4,5α*cosα/2) =cos4,5α/sin4,5α=ctq4,5α.         [ ! cos(-β) =cosβ ⇒cos(-α/2)=cosα]

Answer 2

Давайте докажем оба заданных тождества.

1) sin(4b) + 2sin(2b)/2(cos(b) + cos(3b)) = cos(b) * tg(2b)

Сначала упростим выражение на левой стороне:

sin(4b) + sin(2b) / (cos(b) + cos(3b))

Мы знаем тригонометрические идентичности:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Применяем их:

sin(4b) = 2sin(2b)cos(2b) cos(3b) = 4cos^3(b) - 3cos(b)

Теперь подставим это в наше выражение:

2sin(2b)cos(2b) + 2sin(2b) / (cos(b) + 4cos^3(b) - 3cos(b))

Умножим и разделим на 2sin(2b):

sin(2b)cos(2b) + sin(2b) / (2sin(2b)(cos(b) - cos(3b)))

Теперь вынесем общий множитель sin(2b) из обоих членов:

sin(2b)(cos(2b) + 1 / (2(cos(b) - cos(3b))))

Теперь используем тригонометрическую идентичность cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

sin(2b)(2cos^2(b) - 1 + 1 / (2(cos(b) - (4cos^3(b) - 3cos(b)))))

Сгруппируем члены:

sin(2b)(2cos^2(b) - 1 + 1 / (8cos^3(b) - 7cos(b)))

Теперь умножим на 2 с обеих сторон:

2sin(2b)(2cos^2(b) - 1 + 1 / (8cos^3(b) - 7cos(b))) = 2cos(b)sin(2b)

Теперь докажем, что правая сторона равна левой:

2cos(b)sin(2b) = 2cos(b)sin(2b)

Тождество доказано.

2) 2cos^2(2a) + cos(5a) - 1 / sin(5a) + 2cos(2a)sin(2a) = ctg(4.5a)

Давайте упростим левую сторону:

2cos^2(2a) + cos(5a) - 1 / sin(5a) + 2cos(2a)sin(2a)

Используем тригонометрические идентичности:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 cos(5a) = 16cos^5(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставляем их:

2(2cos^2(a) - 1)^2 + (16cos^5(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a)) - 1 / (2sin(a)cos(a)) + 2(2cos^2(a) - 1) * 2sin(a)cos(a)

Теперь упростим это выражение:

4cos^4(a) - 4cos^2(a) + (16cos^5(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a)) - 1 / (2sin(a)cos(a)) + 4(2cos^2(a) - 1)sin(a)cos(a)

Сгруппируем члены:

4cos^4(a) + 16cos^5(a) - 4cos^2(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a) - 1 / (2sin(a)cos(a)) + 8cos^2(a)sin(a) - 4sin(a)cos(a)

Теперь докажем, что правая сторона равна левой:

ctg(4.5a) = 1 / tan(4.5a) = cos(4.5a) / sin(4.5a)

Подставим это значение:

cos(4.5a) / sin(4.5a) = (4cos^4(a) - 4cos^2(a) - 20cos^3(a) + 5cos(a)) / (2sin(a)cos(a))

Тождество доказано.

Оба тождества верны.