Question

Помогите решить Найти общий вид первообразных функции f(x)= 2x-cosx f(x) = e^x/2

Answer 1

$f(x)=2x-cosx,\; \; F(x)=x^2-sinx\\\\f(x)=\frac{e^{x}}{2},\; \; F(x)=\frac{e^{x}}{2}+C \\\\f(x)=e^{\frac{x}{2}},\; \; F(x)=2e^{\frac{x}{2}}+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 2x - \cos(x)$, вы можете использовать метод интегрирования. Найдем первообразную этой функции:

$$\int (2x - \cos(x)) \, dx$$

Для интегрирования разделим интеграл на два члена:

$$\int 2x \, dx - \int \cos(x) \, dx$$

Интегрируем каждый из этих членов по отдельности:

1. $\int 2x \, dx$: Для нахождения первообразной $2x$, вы можете использовать правило степени:

$$\int 2x \, dx = x^2 + C_1$$

2. $\int \cos(x) \, dx$: Интеграл от $\cos(x)$ равен $\sin(x)$:

$$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C_2$$

Теперь объединим оба члена и добавим константу интегрирования:

$$\int (2x - \cos(x)) \, dx = x^2 + C_1 - \sin(x) + C_2$$

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x - \cos(x)$ равен:

$$F(x) = x^2 - \sin(x) + C$$

где $C$ - произвольная постоянная. Это и есть искомая первообразная.

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = \frac{e^x}{2}$. Для нахождения ее первообразной используем следующий интеграл:

$$\int \frac{e^x}{2} \, dx$$

Интеграл от $e^x$ равен самому себе, поэтому:

$$\int \frac{e^x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^x \, dx$$

Теперь проинтегрируем $\frac{1}{2} e^x$:

$$\frac{1}{2} \int e^x \, dx = \frac{1}{2} \cdot e^x + C$$

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{e^x}{2}$ равен:

$$F(x) = \frac{1}{2} e^x + C$$

где $C$ - произвольная постоянная. Это и есть искомая первообразная.