Question

Найдите точку максимума функции y=x^2-38x+180lnx+1

Answer 1

Y`=2х-38+180/х=(2x²-38x+180)/x=0
x²-19x+90=0
x1+x2=19 U x1*x2=90
x1=9 U x2=10
       +                _                        +
-----------------------------------------------------
             9                    10
             max

Answer 2

Y = x^2 - 38 x + 180 ln x + 1;
 y ' = 2x - 38 + 180 /x;
y ' = 0;
 2x - 38  + 180 / x = 0;
(2x^2 - 38 x + 180) / x = 0;
x ≠ 0;
 2x^2 - 38 x + 180 = 0;
 x^2 - 19 x + 90 = 0;
D = 19^2 - 4*90 = 361 - 360 = 1;
x1 = (19+1) / 2 = 10;
 x2 =(19-1) / 2 = 9.
        +                       -                         +
__________(9)___________(1)_________x
  возр                     убыв                 возр

х= 9 - точка максимума;

Answer 3

Для нахождения точки максимума функции $y = x^2 - 38x + 180\ln(x) + 1$, мы можем использовать производные. Для начала найдем производную этой функции по переменной $x$:

$y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 38x + 180\ln(x) + 1)$

Рассчитаем производную каждого члена по отдельности:

1. $d/dx(x^2) = 2x$
2. $d/dx(-38x) = -38$
3. $d/dx(180\ln(x)) = \frac{180}{x}$
4. $d/dx(1) = 0$

Теперь сложим все эти производные, чтобы найти производную функции $y$:

$y' = 2x - 38 + \frac{180}{x}$

Далее, чтобы найти точку максимума, мы должны найти значения $x$, при которых $y'$ равна нулю, то есть:

$2x - 38 + \frac{180}{x} = 0$

Умножим обе стороны на $x$ для избавления от дробей:

$2x^2 - 38x + 180 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Где $a = 2$, $b = -38$, и $c = 180$.

$x = \frac{38 \pm \sqrt{(-38)^2 - 4(2)(180)}}{2(2)}$

Рассчитаем дискриминант:

$D = (-38)^2 - 4(2)(180) = 1444 - 1440 = 4$

Теперь найдем два значения $x$:

$x_1 = \frac{38 + 2}{4} = 10$ $x_2 = \frac{38 - 2}{4} = 9$

Итак, у нас есть две точки, в которых производная $y'$ равна нулю: $x_1 = 10$ и $x_2 = 9$. Теперь нам нужно определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами.

Для этого мы можем воспользоваться второй производной:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x - 38 + \frac{180}{x})$

Вычислим вторую производную:

1. $d^2/dx^2(2x) = 2$
2. $d^2/dx^2(-38) = 0$
3. $d^2/dx^2(180/x) = -\frac{180}{x^2}$

Теперь подставим значения $x_1$ и $x_2$ во вторую производную:

Для $x_1 = 10$: $y''(10) = 2 - \frac{180}{10^2} = 2 - 18 = -16$

Для