Question

Найдите точку максимума функции y=x2−38x+180lnx+1.

Answer 1

Y' = 2x-38+180/x
y'=0 = 2x-38+180/x
x-19+90/x=0
x^2-19x+90=0=(х-9)(х-10)
x=9 и х=10
=> y' = (x-9)(x-10) 
при x<9  y'>0
9<x<10 y'<0
x>10 y'>0
значит, при х от -бесконечности до 9 функция возрастает, при х от 9 до 10 убывает, при х от 10 до+бесконечности снова возрастает
значит, х=9 - точка максимума

Answer 2

Для того чтобы найти точку максимума функции \(y = x^2 - 38x + 180\ln(x) + 1\), мы можем воспользоваться производными и исследовать поведение функции в окрестности возможной точки максимума.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции \(y\) по \(x\). Производная функции позволяет нам найти точки экстремума, включая точки максимума и минимума.

\[y = x^2 - 38x + 180\ln(x) + 1\]

Для нахождения производной сложной функции, нам необходимо применить правила дифференцирования для каждого члена функции. Производная \(x^2\) равна \(2x\), производная \(-38x\) равна \(-38\), а производная \(180\ln(x)\) равна \(\frac{180}{x}\). Производная константы \(1\) равна \(0\).

Таким образом, производная функции \(y\) будет равна:

\[y' = 2x - 38 + \frac{180}{x}\]

Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем значения \(x\), соответствующие этому условию:

\[2x - 38 + \frac{180}{x} = 0\]

Нахождение точки максимума

Далее, чтобы определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, необходимо проанализировать вторую производную в окрестности найденной точки. Если вторая производная положительна, то найденная точка будет точкой минимума, а если вторая производная отрицательна, то это будет точка максимума.

\[y'' = 2 - \frac{180}{x^2}\]

Подставим найденное значение \(x\) во вторую производную для определения характера точки экстремума.

Результат

После нахождения значения \(x\) и проведения анализа второй производной, мы сможем определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом функции \(y\).