Question

Решите,пж, если не сложно. Найдите все первообразные функций. 1. у=2. 2. у=х-2. 3. у=3х^3+4х^3. 4. у=-5х+3. 5. у=1/х^2-2х. 6. у=8(11-3х)^5. 7. у=3(1-4х). 8. у= соs(3х-4). Срочно,пж, решите.

Answer 1

$1)\; \; F(x)=2x+C\\\\2)\; \; F(x)=x^2-2x+C\\\\3)\; \; F(x)=\frac{3}{4}x^4+x^4+C=\frac{7}{4}x^4+C\\\\4)\; \; F(x)=\int (-5x+3)dx=-\frac{5}{2}x^2+3x+C\\\\5)\; \; F(x)=\int (\frac{1}{x^2}-2x)dx=-\frac{1}{x}-x^2+C\\\\6)\; \; F(x)=\int 8(11-3x)^5dx=8\cdot \frac{(11-3x)^6}{6\cdot (-3)}+C$

$7)\; \; F(x)=\int 3(1-4x)dx=3\cdot \frac{(1-4x)^2}{2\cdot (-4)}+C\\\\8)\; \; F(x)=\int cos(3x-4)dx=\frac{1}{3}sin(3x-4)+C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти первообразные (интегралы) для данных функций. Давайте рассмотрим каждую из них поочередно:

1. ∫ 2 dx = 2x + C.

2. ∫ (x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C.

3. ∫ (3x^3 + 4x^3) dx = 7x^4 + C.

4. ∫ (-5x + 3) dx = (-5/2)x^2 + 3x + C.

5. ∫ (1/x^2 - 2x) dx = -1/x - x^2 + C.

6. ∫ 8(11 - 3x)^5 dx. Для интегрирования сложной функции вида (ax + b)^n, используется метод замены переменной: u = ax + b. Затем интеграл сводится к интегралу более простой степенной функции.

   Пусть u = 11 - 3x, тогда du/dx = -3. Заменяем dx = -du/3.

   ∫ 8u^5 (-du/3) = -8/3 ∫ u^5 du = -8/3 * (u^6 / 6) + C = -4/9 u^6 + C.

   Подставляем обратно u = 11 - 3x: -4/9 (11 - 3x)^6 + C.

7. ∫ 3(1 - 4x) dx = 3x - 6x^2 + C.

8. ∫ cos(3x - 4) dx. Для интегрирования тригонометрических функций применяются стандартные методы.

   ∫ cos(3x - 4) dx = (1/3) ∫ cos(3x - 4) * 3 dx = (1/3) ∫ cos(3x) dx.

   Интеграл ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C.

   Таким образом, (1/3) * (1/3) * sin(3x) + C = (1/9) * sin(3x) + C.

Итак, вот первообразные для каждой из данных функций:

1. 2x + C.
2. (1/2)x^2 - 2x + C.
3. 7x^4 + C.
4. (-5/2)x^2 + 3x + C.
5. -1/x - x^2 + C.
6. -4/9 (11 - 3x)^6 + C.
7. 3x - 6x^2 + C.
8. (1/9) * sin(3x) + C.

Не забудьте добавить константу интегрирования (C) к каждому результату.