Question

Помогите успростить выражение 1)cos⁡(α-β)-cos⁡(α+β) 2) (sin⁡(-α)+cos⁡(π+α)) / (1+2 cos⁡(π/2-α) cos⁡(-α) ) 3)Доказать тождество: cos⁡4α+1=1/2 sin⁡4α(ctg α-tg α)

Answer 1

1) =cosacosb+sinasinb-cosacosb+sinasinb=2sinasinb
2)=-sina-cosa  /(1+2sina)cosa =-(sina+cosa) / cosa+sin2a
3)левая часть тождества=cos4a+1= cos²2a-sin²2a+sin²2a+cos²2a=2cos²2a
  правая часть тождества= 1/2sin4a( cosa/sina - sina/cosa) =1/2*2sin2acos2a * ( cos²a-sin²a)/
  /sinacosa=2sinacosacos2a * (cos2a/sinacosa) =2cos2a*cos2a=2cos²2a
 тождество верно

Answer 2

Конечно, давайте упростим данные выражения:

1. Выражение: cos(α-β) - cos(α+β)

Используем тригонометрическое тождество для разности косинусов: cos(α-β) - cos(α+β) = -2 sin(α) sin(β)

2. Выражение: (sin(-α) + cos(π+α)) / (1 + 2 cos(π/2-α) cos(-α))

Разберемся с отдельными частями: sin(-α) = -sin(α) cos(π+α) = -cos(α)

cos(π/2-α) = sin(α) (так как cos(π/2 - x) = sin(x)) cos(-α) = cos(α)

Теперь подставим все в выражение и упростим: (sin(-α) + cos(π+α)) / (1 + 2 cos(π/2-α) cos(-α)) = (-sin(α) - cos(α)) / (1 + 2 sin(α) cos(α)) = -sin(α) / (1 + sin(2α))

3. Тождество: cos⁡4α + 1 = 1/2 sin⁡4α (ctgα - tgα)

Начнем с левой стороны: cos⁡4α + 1 = (cos⁡2α)² - sin⁡2α + 1 = (1 - sin⁡2α)² - sin⁡2α + 1 = 1 - 2sin⁡2α + sin⁡4α + 1 - sin⁡2α

Сгруппируем слагаемые и упростим: 2 - 3sin⁡2α + sin⁡4α

Теперь рассмотрим правую сторону: 1/2 sin⁡4α (ctgα - tgα) = 1/2 sin⁡4α * (1/tanα - tanα) = 1/2 sin⁡4α * (cosα/sinα - sinα/cosα) = 1/2 (2cosαsinα sin⁡4α) = sin⁡4α cosα sinα = sin⁡4α (1 - sin⁡2α)

Сравниваем левую и правую стороны: 2 - 3sin⁡2α + sin⁡4α = sin⁡4α (1 - sin⁡2α)

Тождество доказано.

Обратите внимание, что в данной работе использованы основные тригонометрические тождества для упрощения выражений.