Question

ТРИГОНОМЕТРИЯ. СРОЧНО! Решите уравнение: 3cos2x - 5 cos4x + 8 = 0

Answer 1

3cos2x - 5 cos4x + 8 = 03cos2x - (5 - 10sin²2x) + 8 = 0
3cos2x - 5 + 10sin²2x + 8 = 0
3cos2x + 10 - 10cos²2x + 3 = 0
-10cos²2x + 3cos2x + 13 = 0
10cos²2x - 3cos2x - 13 = 0
Пусть t = cos2x, t ∈ [-1; 1]
10t² - 3t - 13 = 0
D = 9 + 13*10*4 = 529 = 23²
t₁ =  $\frac{3 + 23}{20}$ = $\frac{26}{20} = \frac{13}{10}$ - не уд. условию.
t₂ =  $\frac{3 - 23}{20} = \frac{-20}{20} = -1$
Обратная замена:
$cos2x = -1$
$2x = \pi + 2 \pi n$, n ∈ Z.
$x = \frac{ \pi }{2} + \pi n$, n ∈ Z.

Answer 2

Данное уравнение является тригонометрическим уравнением, которое содержит косинусы различных аргументов. Давайте решим его шаг за шагом:

Уравнение: 3cos(2x) - 5cos(4x) + 8 = 0

Для удобства заменим cos(2x) на u, и cos(4x) на u^2, получим:

3u - 5u^2 + 8 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно u:

-5u^2 + 3u + 8 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным дискриминантом или другими методами, но давайте попробуем разложить его на множители:

-5u^2 + 3u + 8 = (-5u - 8)(u + 1)

Таким образом, мы получили два возможных значения u:

1. -5u - 8 = 0 => u = -8/(-5) = 8/5
2. u + 1 = 0 => u = -1

Теперь вспомним, что u = cos(2x). Подставим обратно:

1. cos(2x) = 8/5
2. cos(2x) = -1

Для первого уравнения нам нужно найти обратный косинус:

2x = cos^(-1)(8/5) x = (1/2) * cos^(-1)(8/5)

Для второго уравнения решения просто:

2x = π + 2kπ, где k - целое число

Таким образом, итоговые решения:

x = (1/2) * cos^(-1)(8/5) + 2kπ x = π/2 + kπ, где k - целое число