Question

Найти промежутки выростания и спада функций: а) f(x) = 1/2 умножить на x^4; б) f(x) = x^2 + 2x - 2.

Answer 1

1.  f(x)=x⁴/2   f'(x)=2x³   2x³<0   x<0  убывает
                                      2x³ >0  x>0  возрастаfет

2. f(x)=x²+2x-2   f'(x)=2x+2=2(x+1)
------------ -1----------------------
       -                        +
убывает х∈(-∞, -1)   возрастает х∈(-1,∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, нам нужно найти её производную и выяснить знак этой производной на различных интервалах.

а) Дана функция f(x) = (1/2) * x^4.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx [(1/2) * x^4] = 2 * (1/2) * 4 * x^3 = 2x^3.

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю:

2x^3 = 0, x^3 = 0, x = 0.

Теперь мы знаем, что производная функции меняет знак в точке x = 0. Таким образом, у нас есть следующие интервалы:

1. Для x < 0: Подставим тестовую точку x = -1 (любая отрицательная точка): f'(-1) = 2 * (-1)^3 = -2 (отрицательное значение). Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

2. Для x > 0: Подставим тестовую точку x = 1 (любая положительная точка): f'(1) = 2 * 1^3 = 2 (положительное значение). Производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, промежутки возрастания и убывания для функции f(x) = (1/2) * x^4:

• Бесконечно убывает на интервале x < 0.
• Бесконечно возрастает на интервале x > 0.

б) Дана функция f(x) = x^2 + 2x - 2.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx [x^2 + 2x - 2] = 2x + 2.

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю:

2x + 2 = 0, 2x = -2, x = -1.

Теперь мы знаем, что производная функции меняет знак в точке x = -1. Таким образом, у нас есть следующие интервалы:

1. Для x < -1: Подставим тестовую точку x = -2 (любая точка меньше -1): f'(-2) = 2 * (-2) + 2 = -2 (отрицательное значение). Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

2. Для -1 < x < -1: Подставим тестовую точку x = 0 (любая точка между -1 и 1): f'(0) = 2 * 0 + 2 = 2 (положительное значение). Производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

3. Для x > 1: Подставим тестовую точку x = 2 (любая точка больше 1): f'(2) = 2 * 2 + 2 = 6 (положительное значение). Производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, промежутки возрастания и убывания для функции f(x) = x^2 + 2x - 2:

• Бесконечно убывает на интервале x < -1.
• Возрастает на интервале -1 < x < 1.
• Возрастает на интервале x > 1.