Question

Разложите выражение (1+√2)^5 по формуле бинома Ньютона, и упростить его

Answer 1

$(a+b)^5=C_5^0a^5+C_5^1a^4b+C_5^2a^3b^2+C_5^3a^2b^3+C_5^4ab^4+C_5^5b^5=\\\\=1\cdot a^5+5\cdot a^4b+10\cdot a^3b^2+10\cdot a^2b^3+5\cdot ab^4+1\cdot b^5\\\\\\(1+\sqrt2)^5=\\\\=1+5\cdot \sqrt2+10\cdot (\sqrt2)^2+10\cdot (\sqrt2)^3+5\cdot (\sqrt2)^4+(\sqrt2)^5=\\\\=1+5\sqrt2+20+20\sqrt2+20+20\sqrt2=41+45\sqrt2$

Answer 2

Выражение (1+√2)^5 может быть разложено с помощью формулы бинома Ньютона, которая имеет вид:

(a + b)^n = C(n, 0)*a^n + C(n, 1)*a^(n-1)*b + C(n, 2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)*b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k", равный n! / (k! * (n - k)!), а "!" означает факториал.

В данном случае a = 1, b = √2 и n = 5. Давайте разложим это выражение:

(1 + √2)^5 = C(5, 0)*1^5 + C(5, 1)1^4√2 + C(5, 2)1^3(√2)^2 + C(5, 3)1^2(√2)^3 + C(5, 4)1^1(√2)^4 + C(5, 5)*√2^5

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

C(5, 0) = 1 C(5, 1) = 5 C(5, 2) = 10 C(5, 3) = 10 C(5, 4) = 5 C(5, 5) = 1

Подставляем значения:

(1 + √2)^5 = 11 + 51√2 + 101*(√2)^2 + 101(√2)^3 + 51(√2)^4 + 1*√2^5

Упрощаем:

(1 + √2)^5 = 1 + 5√2 + 102 + 10√22 + 5*4√2 + √32

Теперь упростим численные значения:

(1 + √2)^5 = 1 + 5√2 + 20 + 20√2 + 20√2 + √32

(1 + √2)^5 = 21 + 45√2 + √32

Таким образом, упрощенное выражение для (1 + √2)^5 равно 21 + 45√2 + √32.