Question

Составьте уравнение касательной к графику функции : y=e^(x+1)+4*√(x+5) -1 При х нулевое = -1

Answer 1

$y=f'(x_{0})*(x-x_{0})+f(x_{0})$
$f(x_{0})=1+4*2-1=6$
$f'(x)=e^{x+1}+ \frac{2}{ \sqrt{x+5}}$
$f'(x_{0})=1+1=2$
$y=2(x+1)+6=2x+8$

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, вам понадобится найти производную функции и подставить значение x в данной точке, чтобы получить координату y на графике. Затем вы сможете использовать найденные значения для составления уравнения касательной.

Данная функция: y = e^(x+1) + 4√(x+5) - 1

1. Найдем производную функции:

y' = (e^(x+1))' + (4√(x+5))' - (1)'

Производная сложной функции e^(x+1): (e^(x+1))' = e^(x+1) * (x+1)'

Производная корня √(x+5): (4√(x+5))' = 4 * (1/2) * (x+5)^(-1/2) * (x+5)'

Производная константы -1: (1)' = 0

Упростим производные: (e^(x+1))' = e^(x+1) (4√(x+5))' = 2 * (x+5)^(-1/2) (1)' = 0

Итак, производная функции y: y' = e^(x+1) + 2 * (x+5)^(-1/2)

2. Теперь подставим x = 0, чтобы найти значение y и y':

y(0) = e^(0+1) + 4√(0+5) - 1 = e + 4√5 - 1

y'(0) = e^(0+1) + 2 * (0+5)^(-1/2) = e + 2/√5

3. Теперь у нас есть точка (0, e + 4√5 - 1) и значение производной в этой точке: y'(0) = e + 2/√5.

Уравнение касательной имеет вид: y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - точка на графике, m - значение производной в этой точке.

Подставим известные значения: y - (e + 4√5 - 1) = (e + 2/√5)(x - 0).

Упростим: y - e - 4√5 + 1 = (e + 2/√5)x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = e^(x+1) + 4√(x+5) - 1 в точке (0, e + 4√5 - 1) выглядит следующим образом: y = (e + 2/√5)x + e + 4√5 - 1 - e - 4√5 + 1, y = (e + 2/√5)x + e.

Обратите внимание, что большинство членов сократились, и мы получили простое уравнение касательной.