Question

Геометрия. Помогите пожалуйста. Даю много баллов. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный. Задание 7 класса

Answer 1

Поскольку перпендикуляр к биссектрисе проходит через точки M, N, то MN и есть перпендикуляр к биссектрисе угла A.Можно провести стороны параллельные  к сторонам AM, AN. У нас получился параллелограмм , у которого диагонали перпендикулярны. Значит это ромб. А у ромба все стороны равны, значит и AM=AN.
Возможно можно и легче решить..

Answer 2

Рассмотрим треугольник AMN, где AM и AN - его стороны, а MN - основание. Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A, пересекает стороны угла в точках M и N, то эта прямая будет являться высотой треугольника AMN, опущенной из вершины A на основание MN.

Для доказательства равнобедренности треугольника AMN нужно показать, что AM = AN.

Рассмотрим следующие шаги доказательства:

1. Пусть точка O - точка пересечения биссектрисы угла A и прямой MN. Тогда AO будет являться высотой треугольника AMN (так как AO перпендикулярна MN).

2. Рассмотрим треугольники AOM и AON. Они имеют общий угол A (угол между биссектрисой и прямой MN) и угол OAM равен углу OAN, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых AO и MN.

3. Так как угол OAM равен углу OAN, а угол AOM равен углу AON, то треугольники AOM и AON подобны по двум углам.

4. Из подобия треугольников AOM и AON следует, что соответственные стороны пропорциональны: AO/AM = AO/AN.

5. Поскольку AO - общая сторона, то получаем AM = AN.

Таким образом, мы доказали, что треугольник AMN является равнобедренным с равными сторонами AM и AN.