Question

1) Найти наибольшее и наименьшее значение функций y= -x^3+3x^2+4 на отрезке [-3;3] 2) Найти наибольшее значение функции y=ln(4x)-4x+5 на отрезке [1/8;5/8] 3) Найти наименьшее значение функций y=32tgx-32x-8pi+7 на отрезке [-pi/4;pi/4]

Answer 1

$\begin{array}{lll} y=-x^{3}+3x^{2}+4.\mapsto \in \text{[-3;3]}& y=ln(4x)-4x+5.\mapsto [\frac{1}{8} ;\frac{5}{8} ]& y=32tg(x)-32x-8\pi +7.\mapsto \text{[}-\frac{\pi }{4} ;\frac{\pi }{4} ]\\ & & \frac{d}{dx} (32tg(x)-32x-8\pi +7)=32sec^{2}(x)-32=0\\ & \frac{d}{dx} (ln(4x)-4x+5)=\frac{1-4x}{x} =0& sec(x)=\pm 1\mapsto x=k\pi ,k\in \mathbb{Z} \text{k\pi }\notin [-\frac{\pi }{4} ;\frac{\pi }{4} ]\\ \frac{d}{dx} (-x^{3}+3x^{2}+4)=-3x^{2}+6x=-3x(x-2)=0& x=\frac{1}{4} \mapsto \in [\frac{1}{8} ;\frac{5}{8} ]& x=-\frac{\pi }{4} \\ & & y=-32+8\pi -8\pi +7=-25.\\ x_{1}=0\mapsto \in \text{[-3;3]};\text{x}_{2}=2.\mapsto \in \text{[-3;3]}& y=ln(\frac{1}{2} )-\frac{1}{2} +5=-ln(2)+\frac{9}{2} \approx 3.80685& x=\frac{\pi }{4} \\ y=27+27+4=58.& y=ln(1)-1+5=4.& y=32-8\pi -8\pi +7=39-16\pi \approx -11.26548.\\ x=0& x=\frac{5}{8} & \text{Max=-11.26548};\text{Min=-25}.\\ y=0+0+4=4.& y=ln(\frac{5}{2} )-\frac{5}{2} +5\approx 3.41629& \\ x=2& Max=4;\text{Min\approx 3.41629}& \\ y=-8+12+4=8.& & \\ x=3.& & \\ y=-27+27+4=4.& & \\ Max=58;\text{Min=4}& & \end{array}$

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по порядку:

1. Функция y = -x^3 + 3x^2 + 4 на отрезке [-3;3]:

Сначала найдем критические точки функции, где её производная равна нулю: y' = -3x^2 + 6x = 0 x(-3x + 6) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 2.

Теперь найдем значения функции в крайних точках отрезка и в критических точках: y(-3) = -(-3)^3 + 3*(-3)^2 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 y(0) = -(0)^3 + 3*(0)^2 + 4 = 4 y(2) = -(2)^3 + 3*(2)^2 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 y(3) = -(3)^3 + 3*(3)^2 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4

Наибольшее значение: 8 Наименьшее значение: 4

2. Функция y = ln(4x) - 4x + 5 на отрезке [1/8;5/8]:

Найдем производную функции: y' = 1/(4x) - 4

Находим критические точки, где производная равна нулю: 1/(4x) - 4 = 0 1/(4x) = 4 x = 1/16

Проверим значения функции в крайних точках отрезка и в критической точке: y(1/8) = ln(4*(1/8)) - 4*(1/8) + 5 = ln(0.5) - 0.5 + 5 ≈ 4.193 y(5/8) = ln(4*(5/8)) - 4*(5/8) + 5 = ln(2.5) - 2.5 + 5 ≈ 3.193 y(1/16) = ln(4*(1/16)) - 4*(1/16) + 5 = ln(0.25) - 0.25 + 5 ≈ 4.693

Наибольшее значение: около 4.693

3. Функция y = 32tg(x) - 32x - 8π + 7 на отрезке [-π/4;π/4]:

Найдем производную функции: y' = 32sec^2(x) - 32

Находим критические точки, где производная равна нулю: 32sec^2(x) - 32 = 0 sec^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 x = 0

Проверим значения функции в крайних точках отрезка и в критической точке: y(-π/4) = 32tan(-π/4) - 32*(-π/4) - 8π + 7 ≈ -19.656 y(0) = 32tan(0) - 320 - 8π + 7 = 7 - 8π y(π/4) = 32tan(π/4) - 32(π/4) - 8π + 7 ≈ 19.656

Наименьшее значение: примерно -19.656

Итак, мы нашли наибольшие и наименьшие значения для каждой из функций на заданных отрезках.