Question

Докажите тождество 2/cosa- cosa/1+sina=1+sina/cosa

Answer 1

$\frac{2}{cos \alpha } - \frac{cos \alpha }{1+sin \alpha }= \frac{2+2sin \alpha -cos^2 \alpha }{cos \alpha(1+sin \alpha ) }=$
$\frac{1+sin^2 \alpha +cos^2 \alpha +2sin \alpha -cos^2 \alpha }{cos \alpha(1+sin \alpha ) }=$
$\frac{sin^2 \alpha +2sin \alpha +1 }{cos \alpha(1+sin \alpha ) }=$
$\frac{(sin \alpha +1)^2 }{cos \alpha(1+sin \alpha ) }=\frac{sin \alpha +1 }{cos \alpha}$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее:

$\frac{2}{\cos{a}} - \frac{\cos{a}}{1 + \sin{a}}$

Для удобства, объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{2(1 + \sin{a}) - \cos{a} \cdot \cos{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2 + 2\sin{a} - \cos^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Используем тригонометрическую тождественную формулу $\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a}$:

$\frac{2 + 2\sin{a} - (1 - \sin^2{a})}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Далее упростим числитель:

$\frac{2 + 2\sin{a} - 1 + \sin^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

$\frac{1 + 2\sin{a} + \sin^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Мы знаем, что $\sin^2{a} = 1 - \cos^2{a}$, поэтому:

$\frac{1 + 2\sin{a} + 1 - \cos^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

$\frac{2 + 2\sin{a} - \cos^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Мы видим, что числитель совпадает с числителем исходной дроби. Подставляем в выражение:

$\frac{2}{\cos{a}} - \frac{\cos{a}}{1 + \sin{a}} = \frac{2 + 2\sin{a} - \cos^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Теперь мы можем заметить, что числитель совпадает с числителем правой стороны:

$\frac{2 + 2\sin{a} - \cos^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})} = \frac{1 + 2\sin{a} + \sin^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Из этого следует, что:

$\frac{2}{\cos{a}} - \frac{\cos{a}}{1 + \sin{a}} = \frac{1 + 2\sin{a} + \sin^2{a}}{\cos{a} \cdot (1 + \sin{a})}$

Как мы видим, левая сторона равна правой стороне, что и доказывает данное тождество:

$\frac{2}{\cos{a}} - \frac{\cos{a}}{1 + \sin{a}} = \frac{1 + \sin{a}}{\cos{a}}$