Question

Помогите, пожалуйста. Даны точки А, В, С и Д. Вычислить: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника, проведенную из вершины В; в) угол ВАС. Проверить лежат ли эти точки в одной плоскости. A(4; – 4; 3), B(4; – 4; 6), C(8; – 3; – 1), Д(0; –3; 2).

Answer 1

Даны точки A(4; – 4; 3), B(4; – 4; 6), C(8; – 3; – 1), Д(0; –3; 2).

 а) Вычислить площадь треугольника АВС.
Находим длины сторон как  расстояние между точками:
d = √ ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
Подставив координаты точек, получаем:
АВ(c) = √9 = 3, 
ВС(a) = √66 ≈ 8,1240384,
АС(b) = √33 ≈ 5,7445626.
Полупериметр р = 8,4343.
Затем по формуле Герона находим площадь треугольника АВС:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Подставив значения полупериметра и сторон, находим:
S(ABC)= 6,18465844.

б) Высота треугольника, проведенная из вершины В.
Высоту находим по формуле:
hb = 2S/b = (2*6,18465844)/5,7445626 = 2,15322.

 в) Угол ВАС.
Находим косинус угла по формуле:
cos (BAC) = (b²+c²-a²)/(2bc) = (33+9-66)/(2*√33*3) = -4/√33 ≈  -0,6963106.
Этому косинусу соответствует угол 2,3410407 радиан или 134,13175°.

г) Если представить заданные 4 точки как вершины пирамиды, то её объём равен 4. Значит, эти точки не лежат в одной плоскости.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать координатные методы и формулы для вычисления площади треугольника, высоты и углов.

Дано: A(4, -4, 3) B(4, -4, 6) C(8, -3, -1)

а) Площадь треугольника АВС:

Площадь треугольника можно вычислить, используя половину векторного произведения векторов AB и AC. Формула для этого:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|

где |AB x AC| обозначает длину векторного произведения векторов AB и AC.

Вначале вычислим векторы AB и AC:

AB = B - A = (4 - 4, -4 - -4, 6 - 3) = (0, 0, 3) AC = C - A = (8 - 4, -3 - -4, -1 - 3) = (4, 1, -4)

Теперь вычислим векторное произведение AB и AC:

AB x AC = (0 * 1 - 3 * 4, 3 * 4 - 0 * -4, 0 * -1 - 0 * 1) = (-12, 12, 0)

Длина вектора AB x AC = √((-12)^2 + 12^2 + 0^2) = √(144 + 144) = √288 = 12√2

Площадь треугольника = 0.5 * 12√2 = 6√2

б) Высота треугольника, проведенная из вершины В:

Высоту треугольника можно вычислить, используя формулу для проекции вектора AC на вектор AB:

Высота = |AC проекция на AB| / |AB|

Проекция AC на AB = (AC · AB) / |AB| где AC · AB обозначает скалярное произведение векторов AC и AB.

AC · AB = (4 * 0 + 1 * 0 - 4 * 3) = -12

Высота = |-12| / √(0^2 + 0^2 + 3^2) = 12 / 3 = 4

в) Угол ВАС:

Угол между векторами можно вычислить, используя скалярное произведение векторов и их длины:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

AB · AC = (0 * 4 + 0 * 1 + 3 * -4) = -12 |AB| = √(0^2 + 0^2 + 3^2) = 3 |AC| = √(4^2 + 1^2 + -4^2) = √33

cos(θ) = -12 / (3 * √33)

Теперь можно найти угол θ, используя арккосинус:

θ = arccos(-12 / (3 * √33))

Проверка на одной плоскости:

Для проверки, лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, можно использовать смешанное произведение векторов AB, AC и AD. Если смешанное произведение равно нулю, то точки лежат в одной плоскости.

Смешанное произведение = AB · (AC x AD)

Сначала вычислим векторное произведение AC и AD:

AC x AD = (4 * -3 - 1 * 2, -4 * 2 - -1 * 0, -4 * 0 - 1 * -3) = (-14, -7, 3)

Теперь вычислим смешанное произведение:

AB · (-14, -7, 3) = 0 * -14 + 0 * -7 + 3 * 3 = 9

Смешанное произведение не равно нулю, значит, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Итак, результаты:

а) Площадь треугольника АВС = 6√2 б) Высота треугольника из вершины B = 4 в) Угол ВАС ≈ arccos(-12 / (3 * √33)) Проверка: Точки не лежат в одной плоскости.