Question

Дві сторони трикутника пропорційні числам 3 і 8 та утворюють кут 60°. Знайдіть периметр трикутника, якщо третя сторона дорівнює 35 см.

Answer 1

Одна из сторон = 3х, другая сторона = 8х, угол между ними = 60°
По теореме косинусов:

$(3x)^2+(8x)^2-2*3x*8x* \frac{1}{2} =35^2 \\ 9x^2+64x^2-24x^2=1225 \\ 49x^2=1225 \\ x^2=25 \\ x=5$

Одна из сторон = 3х = 3*5 = 15 cм
Другая сторона = 8х = 8 * 5 = 40 см

Периметр = 15 + 40 + 35 = 90 см

Ответ: 90 см.

Answer 2

Для знаходження периметра трикутника, спочатку ми повинні знайти довжини двох сторін, пропорційних числам 3 і 8.

Запишемо співвідношення пропорційності для довжин сторін трикутника: $\frac{x}{3} = \frac{y}{8},$ де $x$ - довжина однієї сторони, $y$ - довжина другої сторони.

Можемо переписати це співвідношення у вигляді: $y = \frac{8x}{3}.$

Також відомо, що ці сторони утворюють кут 60°, тому використаємо тригонометричні відношення для знаходження довжини сторін.

$\cos 60° = \frac{\text{прилегла сторона}}{\text{гіпотенуза}}.$

Ми знаємо, що третя сторона (гіпотенуза) має довжину 35 см, а одна із сторін, пропорційна числу 3, є прилеглою. Тому:

$\cos 60° = \frac{3}{35}.$

Розв'яжемо це відношення, щоб знайти значення $x$: $x = \frac{3}{\cos 60°} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \, \text{см}.$

Тепер, щоб знайти довжину другої сторони, $y$: $y = \frac{8x}{3} = \frac{8 \cdot 6}{3} = 16 \, \text{см}.$

Тепер, коли ми знаємо довжини всіх трьох сторін, периметр трикутника $P$ дорівнює сумі довжин усіх сторін: $P = 6 + 16 + 35 = 57 \, \text{см}.$

Таким чином, периметр трикутника дорівнює 57 см.