Question

Сумма бесконечности убывающей геометрической прогрессии равна 32 а сумма ее первых пяти членов -31 найдите первый член прогрессий

Answer 1

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид:  $S= \dfrac{b_1}{1-q}$ и равна она 32. Сумма первых пяти членов равна  $S_5= \dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}$, что составляет -31.

Решив систему уравнений:  $\displaystyle \left \{ {{\dfrac{b_1}{1-q} =32} \atop {\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q} =-31}} \right.$

$32(1-q^5)=-31\\ \\ 32-32q^5=-31\\ \\ q^5= \dfrac{63}{32} ;~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~~ q= \dfrac{ \sqrt[5]{63} }{5}$

Окончательно имеем:  $b_1=32(1-q)=32\cdot\bigg(1- \dfrac{ \sqrt[5]{63} }{5} \bigg)=32- \dfrac{32 \sqrt[5]{63} }{5}$

Answer 2

Для убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечности вычисляется по формуле:

S = a / (1 - r),

где: S - сумма бесконечности прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии (отношение между любыми двумя последовательными членами).

Также известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где: Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. S = 32,
2. Sn = -31 (где n = 5).

Подставим значения Sn в уравнение 2:

-31 = a * (1 - r^5) / (1 - r).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 32 = a / (1 - r),
2. -31 = a * (1 - r^5) / (1 - r).

Решим систему уравнений:

Из уравнения 1 выразим a:

a = 32 * (1 - r).

Теперь подставим a в уравнение 2:

-31 = (32 * (1 - r)) * (1 - r^5) / (1 - r).

Упростим выражение:

-31 = (32 - 32r) * (1 - r^5) / (1 - r).

Умножим обе стороны на (1 - r):

-31 * (1 - r) = (32 - 32r) * (1 - r^5).

Раскроем скобки:

-31 + 31r = 32 - 32r - 32r^5 + 32r^6.

Приведем подобные слагаемые:

32r^6 - 32r^5 + 63r - 63 = 0.

Теперь наша задача - решить это уравнение. Однако, для этого нужно знать значение знаменателя прогрессии r. В условии задачи это значение не предоставлено, поэтому решение невозможно без дополнительной информации. Если дано дополнительное условие или значение r, пожалуйста, предоставьте его, чтобы я мог продолжить решение.