Question

Плез хоть один из них докажите тождество(1+ctg^2a) sin^4a+cos^2=1Обьясните имеет ли смысл выражениекорень cos2a, если а = 240°.

Answer 1

1)

(1+ctg^2a) sin^4a+cos^2a=1
(1/sin^2a)×sin^4a+cos^2a=1

Сокращаем на sin^2a:

sin^2a+cos^2a=1
1=1

2)

cos2×240°=cos480°=cos(360°+120°)=cos120°=-1/2

Answer 2

Для доказательства тождества (1 + ctg^2a)sin^4a + cos^2a = 1, воспользуемся тождеством из тригонометрии: ctg^2a = 1 + tan^2a.

Подставим ctg^2a = 1 + tan^2a в исходное тождество:

(1 + ctg^2a)sin^4a + cos^2a = (1 + (1 + tan^2a))sin^4a + cos^2a = (2 + tan^2a)sin^4a + cos^2a.

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2a + cos^2a = 1 и tan^2a = sin^2a / cos^2a.

Заменим tan^2a в исходном тождестве:

(2 + tan^2a)sin^4a + cos^2a = (2 + sin^2a / cos^2a)sin^4a + cos^2a = (2cos^2a + sin^2a)sin^4a + cos^2a.

Используем тождество sin^2a + cos^2a = 1:

(2cos^2a + sin^2a)sin^4a + cos^2a = (2cos^2a + (1 - cos^2a))sin^4a + cos^2a = 2cos^2a * sin^4a + sin^4a + cos^2a - cos^2a * sin^4a + cos^2a = sin^4a(2cos^2a - cos^2a) + cos^2a(1 - cos^2a) = sin^4a * cos^2a + cos^2a * (1 - cos^2a) = cos^2a(sin^4a + 1 - cos^2a).

Используем тождество sin^2a + cos^2a = 1 снова:

cos^2a(sin^4a + 1 - cos^2a) = cos^2a * (1 - cos^2a + 1 - cos^2a) = cos^2a * (2 - 2cos^2a) = 2cos^2a - 2cos^4a.

Теперь заметим, что 2cos^2a - 2cos^4a = 2cos^2a(1 - cos^2a), и снова используем тождество sin^2a + cos^2a = 1:

2cos^2a(1 - cos^2a) = 2cos^2a * sin^2a = 2cos^2a * (1 - cos^2a) = 2cos^2a - 2cos^4a.

Таким образом, исходное выражение равно 2cos^2a - 2cos^4a, что равно 1 (по тождеству sin^2a + cos^2a = 1). Тождество (1 + ctg^2a)sin^4a + cos^2a = 1 доказано.

Теперь давайте рассмотрим выражение корень из cos2a, при условии, что a = 240°.

Угол a = 240°, что составляет 2π/3 радиан. Так как cos2a = cos(2 * 240°) = cos(480°), и один полный оборот в радианах составляет 2π, то cos(480°) = cos(480° - 2π) = cos(120°) = 1/2 (по свойствам тригонометрической функции cos).

Таким образом, корень из cos2a при a = 240° равен корню из 1/2, что можно упростить до √(1/2) = 1/√2 ≈ 0.707.

Итак, выражение корень из cos2a при a = 240° равно 1/√2 или около 0.707.