Question

Решите уравнение: 3) x3 − 5x2 − x + 5 = 0.Помогите

Answer 1

X³ - 5x² - x + 5 = 0
(x³ - 5x²) - (x - 5) = 0
x²(x - 5) - (x - 5) = 0
(x - 5)(x² - 1) = 0
(x - 5)(x - 1)(x + 1) = 0
или x - 5 = 0         или  x - 1 = 0       или  x + 1 = 0
       x₁ = 5                     x₂ = 1                    x₃ = - 1
Ответ : 5 ; 1 ; - 1

Answer 2

Для решения данного уравнения x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0, мы можем воспользоваться различными методами, например, методом Рациональных корней (Рациональных корней иррациональных корней).

Однако перед тем, как приступить к решению, давайте проверим, есть ли рациональные корни у данного уравнения, используя рациональный корневой теоремы. Согласно этой теореме, все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами должны быть делителями свободного члена (в данном случае 5) и иметь знаменатель, который делит старший коэффициент (в данном случае 1).

Потенциальные рациональные корни: ±1, ±5

Подставим каждое из этих значений в уравнение:

1. При x = 1: (1)^3 - 5(1)^2 - 1 + 5 = 1 - 5 - 1 + 5 = 0 Корень x = 1

2. При x = -1: (-1)^3 - 5(-1)^2 - (-1) + 5 = -1 - 5 + 1 + 5 = 0 Корень x = -1

3. При x = 5: (5)^3 - 5(5)^2 - 5 + 5 = 125 - 125 - 1 + 5 = 4 Корень x = 5 не подходит

4. При x = -5: (-5)^3 - 5(-5)^2 - (-5) + 5 = -125 - 125 + 5 + 5 = -240 Корень x = -5 не подходит

Таким образом, рациональные корни данного уравнения - это x = 1 и x = -1.

Теперь мы можем разделить уравнение на (x - 1) и (x + 1) с помощью синтетического деления или деления полиномов. Давайте воспользуемся делением полиномов:

scssCopy code
    x^2 - 4x + 5
   _______________
x - 1 | x^3 - 5x^2 - x + 5
        - (x^3 - x^2)
        ____________
                  -4x^2 - x
              - (-4x^2 + 4x)
              ______________
                            3x + 5
                        - (3x + 3)
                        __________
                                  2

Таким образом, уравнение x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0 можно записать в виде:

(x - 1)(x + 1)(x^2 - 4x + 5) = 0

Первые два множителя уже имеют корни x = 1 и x = -1. Осталось решить квадратное уравнение x^2 - 4x + 5 = 0.

Для решения квадратного уравнения, можно воспользоваться дискриминантом:

Дискриминант D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4

Поскольку дискриминант отрицательный, квадратное уравнение имеет два комплексных корня:

x = (4 + √(-4)) / 2 = (4 + 2i) / 2 = 2 + i

x = (4 - √(-4)) / 2 = (4 - 2i) / 2 = 2 - i

Итак, корни уравнения x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0:

x = 1 x = -1 x = 2 + i x = 2 - i

Пожалуйста, обратите внимание, что корни 2 + i и 2 - i являются комплексными числами.