Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 3*y'+ 2*y=0

Answer 1

Це диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами,однорідне.

Нехай  $y=e^{kx}$, тоді маємо наступне характеристичне рівняння

$k^2+3k+2=0$

За теоремою Вієта:    $k_1=-2;~~ k_2=-1$


Отже, загальник розв'язок:   $y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$

Answer 2

Диференціальне рівняння, яке ви навели, має вигляд:

y'' + 3y' + 2y = 0

Для знаходження загального розв'язку можемо спробувати знайти характеристичне рівняння і знайти корені. Загальний розв'язок можна записати в такому вигляді:

y(t) = c1 * e^(r1t) + c2 * e^(r2t)

де r1 і r2 - корені характеристичного рівняння, а c1 і c2 - довільні константи.

1. Знаходження характеристичного рівняння: Користуючись диференціальним рівнянням, підставимо y(t) = e^(rt) і його похідні у вихідне рівняння:

r^2 * e^(rt) + 3r * e^(rt) + 2 * e^(rt) = 0

Тепер можемо спростити, розділити все на e^(rt) (оскільки e^(rt) не дорівнює нулю для будь-якого t, оскільки воно є експоненціальною функцією):

r^2 + 3r + 2 = 0

2. Знаходження коренів характеристичного рівняння: Тепер маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати факторизацією:

(r + 1)(r + 2) = 0

Отже, корені характеристичного рівняння:

r1 = -1, r2 = -2

3. Запис загального розв'язку: Тепер, використовуючи отримані корені, можемо записати загальний розв'язок диференціального рівняння:

y(t) = c1 * e^(-t) + c2 * e^(-2t)

де c1 і c2 - довільні константи, які можна знайти, знаючи початкові або крайові умови.