Question

Докажите тождество 1/1+tg^2x + sin^4x+sin^2xcos^2x=1

Answer 1

$\frac{1}{1+ tg^{2}x } + sin^{4} x+ sin^{2} x* cos^{2} x=1$
$1+ tg^{2} x= \frac{1}{ cos^{2} x}$
$\frac{1}{1+ tg^{2} x} =1: \frac{1}{ cos^{2}x } = cos^{2}x$
$cos^{2} x+sin^{4}x+ sin^{2} x* cos^{2} x=1$
$cos^{2}x+ sin^{2}x*( sin^{2}x+ cos^{2}x )=1$
$cos^{2}x+ sin^{2}x=1$

1=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества, преобразуем выражение по шагам:

1. Заменим tg^2(x) на sin^2(x)/cos^2(x), так как tg(x) = sin(x)/cos(x):

(1 + sin^2(x)/cos^2(x)) + sin^4(x) + sin^2(x)cos^2(x) = 1

2. Приведем слагаемые с общими знаменателями к общему знаменателю (cos^2(x)):

((cos^2(x) + sin^2(x))/cos^2(x)) + sin^4(x) + sin^2(x)cos^2(x) = 1

3. Воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

((1)/cos^2(x)) + sin^4(x) + sin^2(x)cos^2(x) = 1

4. Теперь уберем общий знаменатель, умножив каждое слагаемое на cos^2(x):

1 + sin^4(x)*cos^2(x) + sin^2(x)*cos^2(x) = cos^2(x)

5. Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю (cos^2(x)):

1 + cos^2(x)*sin^4(x) + cos^2(x)*sin^2(x) = cos^2(x)

6. Воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 + cos^2(x)*(1 - cos^2(x)) + cos^2(x)*sin^2(x) = cos^2(x)

7. Раскроем скобки:

1 + cos^2(x) - cos^4(x) + cos^2(x)*sin^2(x) = cos^2(x)

8. Преобразуем слагаемые, чтобы сгруппировать квадраты:

1 + cos^2(x) - cos^4(x) + cos^2(x)*(1 - cos^2(x)) = cos^2(x)

9. Воспользуемся тождеством cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

1 + cos^2(x) - cos^4(x) + cos^2(x)*(sin^2(x)) = cos^2(x)

10. Перенесем cos^2(x) на левую сторону:

1 - cos^4(x) + cos^2(x)*(sin^2(x)) = 0

11. Теперь факторизуем разность квадратов (1 - cos^4(x)):

(1 - cos^2(x))(1 + cos^2(x)(sin^2(x))) = 0

12. Используем тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

(1 - cos^2(x))(1 + cos^2(x)(1 - cos^2(x))) = 0

13. Еще раз факторизуем (1 - cos^2(x)):

(1 - cos^2(x))*(1 + cos^2(x) - cos^2(x)*cos^2(x)) = 0

14. Воспользуемся тождеством cos^2(x) = cos^2(x)*cos^2(x):

(1 - cos^2(x))*(1 + cos^2(x) - cos^4(x)) = 0

15. Раскроем скобки:

(1 - cos^2(x) + cos^2(x) - cos^4(x)) = 0

16. Упростим выражение:

(1 - cos^4(x)) = 0

17. Применим тождество a^2 - b^2 = (a + b)*(a - b) к выражению (1 - cos^4(x)):

(1 - cos^2(x))*(1 + cos^2(x)) = 0

18. Используем тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

(1 - cos^2(x))*(1 + 1) = 0

19. Упростим:

2*(1 - cos^2(x)) = 0

20. Поделим обе стороны на 2:

1 - cos^2(x) = 0

21. Перенесем cos^2(x) на правую сторону:

1 = cos^2(x)

Таким образом, доказано тождество 1/(1 + tg^2(x)) + sin^4(x) + sin^2(x)cos^2(x) = 1.