Question

Знайти послідовність геометричної прогресії 2x-1 , x+3 , x+15

Answer 1

Решение:
Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии :  $x_{n} ^{2} = x_{n-1} * x_{n+1}$, где n≥2.
$( x_{2} )^{2} = x_{1} * x_{3}$
$(x + 3)^{2} = (2x - 1) * (x + 15)$
$x^{2} + 9 + 6x = 2 x^{2} + 30x - x - 15$
$x^{2} - 2 x^{2} + 6x - 30x + x + 9 + 15 = 0$
$- x^{2} - 23x + 24 = 0$
$x^{2} + 23x - 24 = 0$
$x_{1} = - 24, x_{2} = 1$
Получили, что 
а) если х = 1, то члены прогрессии будут такими:
2х - 1 = 2·1 - 1 = 1,
х + 3 = 1 + 3 = 4,
х + 15 = 16,
последовательность -  1, 4, 16.
б) если х = - 24, то члены прогрессии будут такими:
2х - 1 = 2·(- 24) - 1 = - 48 - 1 = - 49,
х + 3 = - 24 + 3 = - 21,
- 24 + 15 = - 9.
последовательность получится такой:  - 49, - 21, - 9.
Ответ: 1, 4, 16  или - 49, - 21, - 9.

Answer 2

Для того щоб знайти послідовність геометричної прогресії, спочатку перевіримо, чи кожна пара сусідніх членів прогресії має спільний знаменник (знаменник множника).

1. Розглянемо першу пару членів: (2x - 1) і (x + 3) Запишемо вираз для знаменника множника: (x + 3) / (2x - 1)

2. Тепер розглянемо другу пару членів: (x + 3) і (x + 15) Запишемо вираз для знаменника множника: (x + 15) / (x + 3)

Якщо прогресія є геометричною, то знаменник множника має бути однаковим для всіх пар членів.

Тепер прирівняємо два вирази для знаменника множника і розв'яжемо рівняння:

(x + 3) / (2x - 1) = (x + 15) / (x + 3)

Спростимо рівняння:

(x + 3)^2 = (2x - 1) * (x + 15)

Розкриємо дужки:

x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 29x - 15

Прирівняємо до нуля:

2x^2 + 29x - 15 - x^2 - 6x - 9 = 0

x^2 + 23x - 24 = 0

Тепер знайдемо значення x, розв'язавши квадратне рівняння.

Для цього можемо використати квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = 23, c = -24.

x = (-(23) ± √((23)² - 4 * 1 * (-24))) / 2 * 1

x = (-23 ± √(529 + 96)) / 2

x = (-23 ± √625) / 2

x = (-23 ± 25) / 2

Таким чином, маємо два значення x:

1. x = (25 - 23) / 2 = 2 / 2 = 1

2. x = (-25 - 23) / 2 = -48 / 2 = -24

Тепер, знаючи значення x, можемо знайти відповідні члени прогресії:

1. При x = 1: 2x - 1 = 2 * 1 - 1 = 2 - 1 = 1 (перший член прогресії) x + 3 = 1 + 3 = 4 (другий член прогресії) x + 15 = 1 + 15 = 16 (третій член прогресії)

Таким чином, послідовність геометричної прогресії при x = 1 буде: 1, 4, 16.

2. При x = -24: 2x - 1 = 2 * (-24) - 1 = -48 - 1 = -49 (перший член прогресії) x + 3 = -24 + 3 = -21 (другий член прогресії) x + 15 = -24 + 15 = -9 (третій член прогресії)

Таким чином, послідовність геометричної прогресії при x = -24 буде: -49, -21, -9.