Question

Сколько корней имеет уравнение (sin^2x+sinx)/cosx =0 в промежутке [0;4п]?

Answer 1

(sin²x+sinx)/cosx=0
cosx≠0
x≠π/2+πn, n∈Z

sin²x+sinx=0
sinx(sinx+1)=0
sinx=0 или sinx+1=0
1) sinx=0
x=πn, n∈Z
2) sinx+1=0
sinx=-1
x=(-π/2)+2πn, n∈Z

Выпишем точки на единичной окружности, которые принадлежат [0; 4π] и при которых знаменатель не обращается в нуль:
sinx=0 в точках 0, π, 2π, 3π, 4π

Получается, на промежутке [0; 4π] уравнение имеет 5 корней

Answer 2

Для того чтобы найти корни уравнения $\frac{{\sin^2x+\sin x}}{{\cos x}}=0$ в промежутке $[0, 4\pi]$, нужно сначала решить уравнение:

$\sin^2x + \sin x = 0$.

Теперь факторизуем:

$\sin x (\sin x + 1) = 0$.

Таким образом, уравнение имеет два множителя: $\sin x = 0$ и $\sin x + 1 = 0$.

Для первого множителя $\sin x = 0$, корни находятся в точках, где $\sin x$ равен нулю. В промежутке $[0, 4\pi]$, эти корни равны $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$.

Для второго множителя $\sin x + 1 = 0$, решение уравнения можно получить вычитая единицу:

$\sin x = -1$.

Это уравнение имеет корни в точках, где $\sin x$ равен -1. В промежутке $[0, 4\pi]$, таких корней только два: $x = \frac{3\pi}{2}$ и $x = \frac{7\pi}{2}$.

Таким образом, уравнение $\frac{{\sin^2x+\sin x}}{{\cos x}}=0$ имеет пять корней в промежутке $[0, 4\pi]$: $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.