Question

Докажите, что выражение p²-6p+12 при любых значениях p принимает положительное значение.

Answer 1

Надеюсь все понятно.

Answer 2

Поскольку дискриминант меньше нуля, то парабода находится выше оси х и не имеет общих точек с ней=> при любых значениях положительна.
Можно также выделить полный квадрат и показать, что он всегда больше или равен нулю, но этот способ немного дольше

Answer 3

Для доказательства того, что выражение $p^2 - 6p + 12$ принимает положительное значение при любых значениях $p$, мы должны показать, что у него нет корней вещественных чисел. Это можно сделать, рассмотрев дискриминант квадратного трехчлена.

Общая формула для дискриминанта квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ это:

$D = b^2 - 4ac.$

Для данного выражения $p^2 - 6p + 12$, у нас $a = 1$, $b = -6$ и $c = 12$. Теперь вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12.$

Дискриминант отрицателен ($D < 0$), что означает, что у квадратного трехчлена нет вещественных корней. Это значит, что выражение $p^2 - 6p + 12$ всегда будет либо положительным, либо отрицательным, но никогда не равным нулю.

Теперь определим, когда оно будет положительным. Если дискриминант отрицателен, это означает, что квадратный трехчлен никогда не пересекает ось $x$ и всегда лежит выше или ниже этой оси. Но так как у $a$ положительное значение ($a = 1$), то это означает, что он всегда будет сверху оси $x$. Таким образом, выражение $p^2 - 6p + 12$ всегда принимает положительное значение для любого значения $p$.