Question

Три числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, а их квадраты составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 36.

Answer 1

Пусть х; у; z последовательные члены арифметической прогрессии (х<уПо условию х+у+z=36 (1);
по свойству арифметической прогрессии:
у=(х+z)/2;
x+z=2*у (2);
подставим (2) в (1):
2*у+у=36;
у=12;
подставим у=12 в (1):
x+z+12=36;
x+z=24 (3);
по условию:
x^2; у^2; z^2 геометрическая последовательность;
по свойству геометрической прогрессии:
(у^2)^2=х^2 * z^2;
144^2=х^2 * z^2 (4);
из (3) выразим x и подставим в (4):
х=24-z;
(24-z)^2*z^2=144^2;
1) (24-z)*z=144;
z^2-24*z+144=0;
D=24^2-4*144=0;
z=24/2=12 не подходит, так как по условию z>у;
2) (24-z)*z=-144;
z^2-24*z-144=0;
D=24^2-4*(-144)=1152;
z1=(24+√1152)/2=(24+24*√2)/2=12+12*√2;
z2=(24-√1152)/2=(24-24*√2)=12-12*√2;
z1>у; z2<у; значит, z=12+12*√2;
итак: х=12-12*√2; у=12; z=12+12*√2;
Ответ: 12-12*√2; 12; 12+12*√2

Answer 2

Пусть три числа образуют арифметическую прогрессию, и их первый член - a, а шаг арифметической прогрессии - d.

Тогда числа будут: a, a + d и a + 2d.

Также, по условию, их квадраты образуют геометрическую прогрессию. Это значит, что квадраты этих чисел также будут образовывать арифметическую прогрессию. То есть:

(a^2), (a + d)^2 и (a + 2d)^2 образуют арифметическую прогрессию.

Теперь составим уравнения:

1. a + (a + d) + (a + 2d) = 36 (сумма чисел равна 36).
2. (a^2), (a + d)^2 и (a + 2d)^2 образуют арифметическую прогрессию.

Для второго уравнения найдем разности между соседними членами:

Разность между (a + d)^2 и a^2: (a + d)^2 - a^2 = a^