Question

Help!Найдите значение производной функции f (x)=3+x^1/3 в точке x0=64

Answer 1

Найдите значение производной функции  $f (x)=3+x^{1/3}$ в точке  $x_0=64$

1) Найдём производную функции
$f'(x)=(3+x^{1/3})' = \frac{1}{3} * x^{-2/3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

2) Найдем значение производной 
$f'(64)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3*16} = \frac{1}{48}$

Answer 2

Для нахождения значения производной функции $f(x) = 3 + x^{1/3}$ в точке $x_0 = 64$, нам необходимо вычислить производную функции $f(x)$ и затем подставить $x_0 = 64$ в полученное выражение.

Для нахождения производной функции $f(x)$, используем правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:

$\frac{d}{dx} (c + x^n) = n \cdot x^{n-1},$

где $c$ - константа, $n$ - степень, и $x$ - переменная.

Применяем правило дифференцирования к $f(x) = 3 + x^{1/3}$:

$\frac{d}{dx} (3 + x^{1/3}) = \frac{d}{dx} 3 + \frac{d}{dx} x^{1/3} = 0 + \frac{1}{3} \cdot x^{1/3-1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-2/3}.$

Теперь подставим $x_0 = 64$ в полученное выражение:

$f'(64) = \frac{1}{3} \cdot 64^{-2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{64^{2/3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4096}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{48}.$

Таким образом, значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 64$ равно $f'(64) = \frac{1}{48}$.