Question

В какой точке графика заданной функции y=f(x) касательная параллельна заданной прямой: y=0, f(x)=x^4/4-x^2+8

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х: y = f(х) + f '(х)(x – х)

Answer 2

Чтобы касательная к графику функции $y = f(x)$ была параллельна заданной прямой $y = 0$, её угловой коэффициент должен быть равен нулю. Угловой коэффициент касательной к функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ равен производной функции $f(x)$ в этой точке: $f'(x_0)$.

Поэтому, чтобы касательная к графику $y = f(x)$ была параллельна прямой $y = 0$, нужно найти точки, в которых $f'(x) = 0$.

Для функции $f(x) = \frac{{x^4}}{4} - x^2 + 8$ найдем производную:

$f'(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^4}}{4} - x^2 + 8\right) = x^3 - 2x$.

Теперь решим уравнение $x^3 - 2x = 0$ для нахождения точек, в которых $f'(x) = 0$:

$x^3 - 2x = 0$

$x(x^2 - 2) = 0$

Таким образом, получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = -\sqrt{2}$ и $x_3 = \sqrt{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения функции в этих точках:

$y_1 = f(0) = \frac{{0^4}}{4} - 0^2 + 8 = 8$

$y_2 = f(-\sqrt{2}) = \frac{{(-\sqrt{2})^4}}{4} - (-\sqrt{2})^2 + 8 = 2 - 2 + 8 = 8$

$y_3 = f(\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})^4}}{4} - (\sqrt{2})^2 + 8 = 2 - 2 + 8 = 8$

Теперь у нас есть три точки на графике функции $y = f(x)$, в которых касательные будут параллельны прямой $y = 0$. Это точки: $(0, 8)$, $(- \sqrt{2}, 8)$ и $(\sqrt{2}, 8)$.