Question

100 БАЛЛОВ! В геометрической прогрессии  произведение членов с четными номерами в   раз больше произведения членов с нечетными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.

Answer 1

Произведение с чётными индексами=а2*а4* ...*а2016
Произведение с нечетными=а1*а3*...*а2015
Делим первое на второе и получаем 
(а2:а1)*(а4:а3)*...*(а2016:а2015)=1008q=2^1008
q=2^1008/1008=2^4*2^1004/1008=16*2^1004/1008=2^1004/63
Ответ: {2^1004/63}

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрической прогрессии (ГП).

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен q, а первый член (с нечетным номером) равен a. Тогда второй член (с четным номером) будет равен aq, третий член (с нечетным номером) будет равен aq^2, четвертый член (с четным номером) будет равен a*q^3 и так далее.

Теперь, если произведение членов с четными номерами в разы больше произведения членов с нечетными номерами, то имеем:

(aq)(aq^3)(aq^5)... = (aq^2)(aq^4)(aq^6)...

Мы заметим, что каждое из произведений на левой и правой стороне является бесконечной геометрической прогрессией.

Произведение членов с четными номерами:

aq * aq^3 * a*q^5 * ... = a * (q * q^3 * q^5 * ...) = a * (q^1 * q^3 * q^5 * ...) = a * q^(1 + 3 + 5 + ...)

Произведение членов с нечетными номерами:

aq^2 * aq^4 * aq^6 * ... = aq^2 * (q^2 * q^4 * q^6 * ...) = aq^2 * (q^2 * q^4 * q^6 * ...) = aq^2 * q^(2 + 4 + 6 + ...)

Так как мы знаем, что произведение членов с четными номерами в разы больше произведения членов с нечетными номерами, то:

a * q^(1 + 3 + 5 + ...) = a * q^2 * q^(2 + 4 + 6 + ...)

Теперь, чтобы произведения совпадали, степени q должны быть равны:

1 + 3 + 5 + ... = 2 + 4 + 6 + ...

Чтобы решить это уравнение, посчитаем суммы арифметических прогрессий:

Сумма нечетных чисел: 1 + 3 + 5 + ... = n^2, где n - количество членов.

Сумма четных чисел: 2 + 4 + 6 + ... = 2 * (1 + 2 + 3 + ...) = 2 * n * (n + 1).

Теперь приравняем эти суммы и решим уравнение:

n^2 = 2 * n * (n + 1)

n^2 = 2n^2 + 2n

n^2 - 2n^2 - 2n = 0

-n^2 - 2n = 0

n(n + 2) = 0

Таким образом, n = 0 или n = -2. Но n не может быть отрицательным, поэтому n = 0.

Таким образом, в геометрической прогрессии нет ни одного члена (то есть прогрессия состоит из одного нулевого члена), и её знаменатель q также равен нулю.