Question

Сократите дробь, зная что n- целое число[tex] 8^{n} - 2^{n} / 4^{n} -1 7^{n} + 7^{n+1} / 7^{-n} + 7^{1-n} b^{3n} + b^{2n} + b^{n}/ b^{-3n} + b^{-2n} + b^{-n} [/tex]

Answer 1

$\frac{8^n-2^n}{4^n-1} = \frac{2^n( 2^{2n}-1) }{2^{2n}-1} =2^n \\ \\ \frac{7^n+ 7^{n+1} }{ 7^{-n}+ 7^{1-n} } = \frac{8*7^n}{ \frac{1}{7^n}+ \frac{7}{7^n} } = 7^{2n} =49^n \\ \\ \frac{ b^{3n} + b^{2n}+b^n }{ \frac{1}{ b^{3n} }+ \frac{1}{ b^{2n} } + \frac{1}{b^n} } = \frac{b^n( b^{2n} +b^n+1)}{ \frac{1+b^n+ b^{2n} }{ b^{3n} } } = b^{4n}$

Answer 2

Давайте посмотрим на каждую дробь по отдельности:

1. [tex]\frac{8^{n} - 2^{n}}{4^{n} - 1}[/tex]

Заметим, что [tex]8^n[/tex] можно переписать как tex^n = 2^{3n}[/tex], и [tex]2^n[/tex] остается без изменений.

Теперь можем переписать числитель и знаменатель:

Числитель: [tex]8^n - 2^n = 2^{3n} - 2^n[/tex] Знаменатель: [tex]4^n - 1 = (2^2)^n - 1 = 2^{2n} - 1[/tex]

Таким образом, дробь становится: [tex]\frac{2^{3n} - 2^n}{2^{2n} - 1}[/tex]

2. [tex]\frac{7^{n} + 7^{n+1}}{7^{-n} + 7^{1-n}}[/tex]

Заметим, что [tex]7^{n+1}[/tex] можно переписать как [tex]7^n \cdot 7[/tex], и [tex]7^{1-n}[/tex] можно переписать как [tex]\frac{7}{7^n}[/tex].

Теперь можем переписать числитель и знаменатель:

Числитель: [tex]7^n + 7^n \cdot 7 = 7^n(1 + 7) = 7^n \cdot 8[/tex] Знаменатель: [tex]7^{-n} + \frac{7}{7^n} = \frac{1}{7^n} + \frac{7}{7^n} = \frac{1+7}{7^n} = \frac{8}{7^n}[/tex]

Таким образом, дробь становится: [tex]\frac{7^n \cdot 8}{\frac{8}{7^n}} = 7^{2n}[/tex]

3. [tex]\frac{b^{3n} + b^{2n} + b^{n}}{b^{-3n} + b^{-2n} + b^{-n}}[/tex]

Заметим, что [tex]b^{3n}[/tex] можно переписать как tex^3[/tex], [tex]b^{2n}[/tex] можно переписать как tex^2[/tex], и [tex]b^{-n}[/tex] можно переписать как [tex]\frac{1}{b^n}[/tex].

Теперь можем переписать числитель и знаменатель:

Числитель: tex^3 + (b^n)^2 + b^n = b^n \cdot (b^{2n} + b^n + 1)[/tex] Знаменатель: [tex]b^{-3n} + b^{-2n} + b^{-n} = \frac{1}{(b^n)^3} + \frac{1}{(b^n)^2} + \frac{1}{b^n} = \frac{1 + (b^n) + (b^n)^2}{(b^n)^3}[/tex]

Таким образом, дробь становится: [tex]\frac{b^n \cdot (b^{2n} + b^n + 1)}{\frac{1 + (b^n) + (b^n)^2}{(b^n)^3}} = b^3[/tex]

Итак, сократив каждую из дробей, мы получаем:

1. [tex]\frac{8^{n} - 2^{n}}{4^{n} - 1} = \frac{2^{3n} - 2^n}{2^{2n} - 1}[/tex]
2. [tex]\frac{7^{n} + 7^{n+1}}{7^{-n} + 7^{1-n}} = 7^{2n}[/tex]
3. [tex]\frac{b^{3n} + b^{2n} + b^{n}}{b^{-3n} + b^{-2n} + b^{-n}} = b^3[/tex]