Question

Найдите, в какой точке графика функции [tex]y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + x^{3}[tex] касательная наклонена к оси абсцисс под углом [tex]\alpha = \frac{\pi}{6}  [tex]

Answer 1

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В свою очередь тангенс угла наклона прямой к оси ox равен угловому коэффициенту.
f'(x0)=k=tg(a)
находим производную данной функции:
$y'=\frac{1}{\sqrt{3}}+3x^2$
пусть x координата искомой точки будет b, тогда:
$y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
нам известен угол наклона, значит:
$tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt{3}}=y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2 \\3b^2=0 \\b=0$
найдем y- координату точки: y(0)=0
значит в точке (0;0) касательная составляет с графиком данной функции угол в $\frac{\pi}{6}$
Ответ: (0;0)

Answer 2

Для того чтобы найти точку на графике функции, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом [tex]\alpha = \frac{\pi}{6}  [tex], нужно найти точку, в которой производная функции равна тангенсу этого угла.

1. Найдем производную функции [tex]y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + x^{3}[tex]:

Применим правило дифференцирования для каждого члена: [tex]y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)[tex].

Для первого члена: [tex]\frac{d}{dx}\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x)[tex]. [tex]\frac{d}{dx}\left(\frac{x\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}[tex].

Для второго члена: [tex]\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}[tex].

Теперь получаем: [tex]y' = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3x^{2}[tex].

2. Найдем точку, в которой производная равна тангенсу угла [tex]\alpha = \frac{\pi}{6}  [tex]:

Тангенс угла [tex]\alpha = \frac{\pi}{6}  [tex] равен [tex]\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}[tex].

Итак, у нас есть уравнение для производной [tex]y' = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3x^{2}[tex] и значение тангенса угла [tex]\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}[tex]. Найдем теперь точку, в которой [tex]y' = \frac{\sqrt{3}}{3}[tex]:

[tex]\frac{\sqrt{3}}{3} + 3x^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}[tex].

Вычтем [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[tex] с обеих сторон:

[tex]3x^{2} = 0[tex].

Разделим на 3:

[tex]x^{2} = 0[tex].

Теперь найдем значение x:

[tex]x = 0[tex].

Таким образом, точка на графике функции, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом [tex]\alpha = \frac{\pi}{6}  [tex], имеет координаты (0, 0).